Уравнения в целых числах

Уравнения в целых числах

Задача 1. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Запишем данное уравнение в виде

Так как и – целые, то целыми являются и выражения в скобках, причем их произведение положительно. Учитывая, что при любых значениях переменных и , имеем .

Разложим число 91 на натуральные множители:

Решения данного уравнения найдем, решив совокупность таких систем уравнений:

Ответ: (5; 6), (–6; –5), (–3; 4), (–4; 3).

Задача 2. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде . Вынося переменную за скобки в правой части уравнения, получим .

Рассмотрим два случая:

А) , тогда уравнение не имеет решений.

Б) , тогда поделив обе части уравнения на выражение , получим . Преобразуем данное уравнение к виду . Это уравнение равносильно уравнению , которое будет иметь целые решения лишь тогда, когда . Отсюда . Значит уравнение имеет два решения: и .

Ответ: , .

Задача 3. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида . Очевидно, что если оба числа и – четные, то выражение делится на 4.

Если одно из чисел – четное, другое – нечетное, то остаток от деления на 4 выражения равен 1.

Если оба числа и – нечетные, то остаток от деления на 4 выражения равен 2.

Правая часть при делении на 4 имеет остаток 3, так как . Так как левая и правая часть имеют разные остатки, то ни при каких уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Задача 4. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Так как разложить на множители левую часть исходного уравнения трудно, то рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно переменной , для этого запишем его в виде .

Очевидно, уравнение будет иметь два решения, если , то есть при , тогда .

Ответ: .

Задача 5. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Очевидным решением является пара . Найдем другие решения. Преобразуем исходное уравнение к виду

Исследуем уравнение . Рассмотрим два случая.

Случай 1.

, тогда или . Получаем решения: и .

Случай 2.

. Тогда рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной . Значит,

Так как по условию и – целые, то выражение должно равняться полному квадрату некоторого целого числа, то есть , где – целое.

Найдем целые значения , удовлетворяющие уравнению .

Запишем уравнение в виде .

Рассмотрев четыре системы уравнений:

получим или , что не удовлетворяет условию .

Ответ: , .

Задача 6. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Запишем уравнение в виде

Из этого уравнения следует, что делится на 3. Подставив в уравнение , получим , откуда имеем , то есть делится на 3. Заменив , и подставив в уравнение ,после преобразований получим , откуда имеем, что делится на 3. Таким образом мы получили, что делятся на 3.

Далее, рассуждая аналогично, получаем, что также кратны 3, то есть имеем, что числа, удовлетворяющие уравнению, всегда кратны 3, сколько бы их на 3 не делили. Поэтому единственным решением этого уравнения может быть тройка .

Ответ: .

Задача 7. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение.

Так как и – натуральные числа, то . Умножив обе части уравнения на , получим . Выразив в уравнении переменную через , получим уравнение , которое равносильно уравнению . Очевидно, что будет натуральным только в случае .

Ответ: .

Задача 8. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение.

Рассмотрим случай , тогда уравнение примет вид . Очевидно, что это уравнение не имеет натуральных решений.

Пусть одновременно и для определенности , тогда , откуда . А это означает, что , или , или . Рассмотрев все эти случаи, получим решение уравнения .

Рассмотрев другие варианты соотношений между переменными , получим и остальные решения уравнений: .

Ответ: .

Задача 9. Решите уравнение в натуральных числах.

Подсказка.

Так как и , – натуральные, то . Запишем уравнение в виде .

Ответ: .

Задача 10. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение.

Выразим из уравнения и выделим целую часть: . Чтобы было натуральным, необходимо и достаточно, чтобы число было нечетным делителем числа 12. Таких делителей четыре: –3, –1, 1, 3.

Имеем совокупность уравнений:

Решив полученную совокупность уравнений с учетом, что – натуральное число, имеем: .

Ответ:

Задача 11. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Представим 13 как сумму 12 и 1. После переноса в левую часть выражения получим равносильное уравнение , которое представим в виде: . Так как

имеем совокупность 12-ти уравнений, решив которые, получим следующие пары чисел: .

Ответ: .

Задача 12. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение.

Рассмотрим остатки от деления на 9 правой и левой частей уравнения. Перепишем уравнение в виде

Первое слагаемое левой части уравнения делится на 9, а остатки от деления на 9 второго слагаемого могут равняться 0, 1, 8, 2, 7, в то время как остаток от деления правой части уравнения равен 6.

Задача 13. Решите в целых числах систему уравнений

Решение.

Выразим из второго уравнения системы и подставив в первое полученное выражение, имеем . После преобразования левой части полученного уравнения получим . Выразим из данного уравнения: . Так как – целое число, то выражение должно принимать целые значения, поэтому или . Рассматривая все четыре случая для : 2, 4, 8, –2, получим следующие решения системы уравнений: .

Ответ: .

Задача 14. Известно, что некоторая фигура на плоскости при ее повороте вокруг некоторой точки на угол переходит сама в себя. Можно ли утверждать, что она переходит в себя при повороте вокруг точки на угол: а) , б) .

Решение.

Если фигура переходит в себя при повороте на угол , то она перейдет в себя при повороте на угол вида , где и – целые числа.

А) Решим уравнение в целых числах. Данное уравнение равносильно уравнению . Так как выражение в левой части уравнения при любых целых и делится на 2, а в правой части стоит нечетное число, то уравнение решений не имеет.

Б) Решим уравнение в целых числах. Разделим обе части уравнения на и получим равносильное уравнение , одним из решений которого будет .Это означает, что исходная фигура перейдет в себя при повороте на .

Ответ: а) нельзя; б) можно.

Задача 15. Решите уравнение в целых числах.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду . Данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Задача 16. Решите уравнение в натуральных числах.

Решение.

Так как , то . Вынесем общий множитель за скобки в левой части уравнения : . Число 1984 можно представить в виде . Так как – четно, а – нечетно и , то . Решением этой системы уравнений является пара чисел .

Ответ: .

Задача 17. Существует ли такое целое , что ?

Решение.

Нет, так как левая часть уравнения , равносильного исходному уравнению, делится нацело на 6, а правая часть – число не делится нацело на 6.

Ответ: нет.

Задача 18. Решите в целых числах систему уравнений

Решение.

Преобразуем второе уравнение к виду . Из этого уравнения получим, что может быть лишь нечетным, то есть . Подставив данное выражение для в преобразованное второе уравнение, получим

, то есть – четное число.

Рассмотрим первое уравнение системы. Так как и , то . Выразив из второго уравнения системы , найдем . Тогда получим . Учитывая, что , (для левой части последнего уравнения), имеем , которое равносильно уравнению . Таким образом, в левой части равенства получается четное число, в правой – нечетное. Значит, данная система решений не имеет.

Ответ: нет решений.