Методическая разработка учебного занятия «Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«РОСТОВСКИЙ–НА–ДОНУ АВТОДОРОЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Методическая разработка учебного занятия

«Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах»

по дисциплине

ОУДП.10 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Автор:

,

преподаватель дисциплин математического и общего естественнонаучного цикла ГБПОУ РО «Ростовский-на-Дону автодорожный колледж»

Ростов-на-Дону, 2017

Введение

Учебная дисциплина ОУДП.10 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» входит в состав общеобразовательного учебного цикла учебного плана ППССЗ по специальности 08.02.05 Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов (базовая подготовка) как общая учебная дисциплина из обязательной предметной области ФГОС среднего общего образования «Математика и информатика», является профильной учебной дисциплиной, изучается на базовом уровне, но более углубленно с учетом технического профиля профессионального образования.

Изучается в объёме 351 академических часов, включая 234 часа обязательной аудиторной учебной нагрузки и 117 часов внеаудиторной самостоятельной работы студентов.

В рабочей программе учебной дисциплины ОУДП.10 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» тема учебного занятия: «Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах» изучается в объеме двух часов обязательной аудиторной учебной нагрузки и двух часов внеаудиторной самостоятельной работы студентов.

Тип занятия: комбинированное (смешанное) учебное занятие.

Вид занятия: объяснение с элементами технологии проблемного обучения.

Образовательные задачи:

Учебные:

§  повторение свойств прямой, параллельной плоскости и свойств прямой, перпендикулярной плоскости;

§  обоснование необходимости теоремы о трех перпендикулярах;

§  закрепление изученного теоретического материала при решении практикоориентированных задач.

Развивающие задачи

§  формирование умений студентов читать чертеж, объяснять, комментировать выполняемые задания;

§  развитие пространственного воображения, математической культуры.

§  развитие умений выдвижения гипотез, анализа и обобщения.

Воспитательные задачи

§  формирование представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

Дидактические единицы темы занятия:

1) определения перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикуляра, наклонной, проведенных из точки к плоскости, проекции наклонной на плоскость;

2) понятия угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой;

3) признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах и обратная к ней.

Требования к организации занятия:

§  психологические требования: преподаватель контролирует точность и своевременность выполнения учащимися каждого задания.

§  валеологические требования: организация выполнения учащимися разнообразных по дидактической цели и содержанию заданий.

Виды деятельности студентов: ответы на вопросы домашнего задания, визуальное восприятие компьютерной презентации, ведение записей в рабочих тетрадях, участие в решении заданий.

Формы контроля и оценки: фронтальный опрос, оценка результатов работы.

Основные понятия: понятия перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной на плоскость; расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой.

Внутрипредметная связь: приемы решения задач и сами задачи (нахождение расстояний и углов) являются средствами для изучения стереометрических объектов, в которых точки, прямые, отрезки прямых, плоскости, части плоскости, плоские и двугранные углы являются составляющими элементами многогранников.

Выполнению целей и задач должны способствовать:

§  использование технологии проблемного обучения;

§  практикоориетированность используемых примеров применения теоремы о трех перпендикулярах при строительстве инженерных сооружений;

§  использование средств наглядности, в том числе компьютерной презентации, выполненной в среде Power Point.

Ожидаемые результаты:

Студенты должны знать:

-  основные понятия стереометрии;

-  аксиомы стереометрии и следствия из них;

-  взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве;

-  основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости.

Студенты должны уметь:  

-  описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

-  анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

-  решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов) использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

-  применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах для вычисления углов и расстояний в пространстве.

-  применять математические знания к решению практических задач

Обладать следующими ключевыми компетенциями:

-  готовность и способность к саморазвитию и личностному самоопределению, сформированность мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности.

Обеспечение занятия:

а) Печатные источники

1.  Башмаков : Учебник, М: Академия, 2012.

2.  Дадаян : Учебник, М: ФОРУМ, 2012.

3.  Богомолов задач по математике М.: Дрофа,2012 .

4.  Башмаков задач профильной направленности М: Академия, 2012.

б) Демонстрационный материал: макеты прямых, перпендикулярных плоскости, макеты многогранников.

в) Информационные ресурсы

1.  http://ru. wikipedia. org/wiki/

2.  http://www. terver. ru/priznakperpendpr9m. php

г) Средства наглядности и ТСО:

1. Компьютерная презентация в среде Power Point.

2. Компьютер с лицензионным программным обеспечением.

3. Мультимедиа проектор.

Дидактическая структура занятия

Этапы занятия	Дидактическая структура занятия	Хронологическая структура (в минутах)
	1.	Организационный момент. Постановка целей и задач учебного занятия	5
	2.	Контроль и оценка выполнения студентами домашнего задания	10
	3.	Актуализация знаний учащихся 3.1 Выполнение заданий по готовым чертежам 3.2 Фронтальный опрос (содержание понятий)	5
	4.	Формирование мотивации (связь изучаемого материала с видами профессиональной деятельности специалистов)	5
	5.	Объяснение нового материала (с демонстрацией слайдов о применении признаков перпендикулярности прямой и плоскости, теоремы о трех перпендикулярах)	20
	6.	Решение задач; обоснование результатов	25
	7.	Закрепление и контроль усвоения нового материала.	10
	8.	Заключительная часть занятия (подведение итогов, оценка освоенных умений и знаний, домашнее задание)	10
	Итого:	90

ХОД И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ

1.  Организационный момент.

Занятие начинается с объявления преподавателем темы, цели и задач учебного занятия.

Тема занятия:

«Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах.»

"Геометрия полна приключений, потому что

за каждой задачей скрывается приключение мысли.

Решить задачу – это значит пережить приключение "

Вячеслав Викторович Произволов

2.  Контроль и оценка выполнения студентами домашнего задания.

Преподаватель: «Сегодня на занятии мы закрепим признак перпендикулярности прямой и плоскости, научимся применять теорему о трех перпендикулярах при решении разнообразных задач».

Дома вы должны были решить задачи:

. Сборник задач по математике. §49. Прямая и плоскость в пространстве. №№ 000-426.

Два студента у доски записывают решение задач.

При решении геометрических задач мы используем три этапа:

1.  Выполнение чертежа (изображение геометрических фигур на плоскости);

2.  Анализ данных задачи и составление цепочки действий;

3.  Выполнение расчетов.

Проверьте ваше решение.

Решение

Проведем прямую АКА1В1. А1АКВ1 – прямоугольник, т. к. А1АКВ1 – как перпендикуляры к плоскости А1В1 по построению.

Рассмотрим ΔАВК: ÐАКВ=90°, АВ = 50 см, ВК = 44-30 =14 см. По теореме Пифагора найдем АК: АК = =

Ответ: 48 см.

Решение

1)  АС = 3 см., ВD = 6 см., АВ = 15 см.

ΔАОС ( ÐАОС = ÐВОD, как вертикальные, ÐАСО = ÐВDО = 90°, ÐСАО = ÐВОD, как накрест лежащие ). У подобных фигур стороны пропорциональны, т. е. . Составим уравнение. Пусть х см. – длина АО, тогда

15-х см. – длина ВО.

; х = 5 см.,

АО = 5 см., ВО = 10 см.

2)  По теореме Пифагора

СО = см.

DО = см.

АВ = СО+ DО

АВ = 4+ 8 = 12 см.

Задачу можно было решить, используя метод параллельного переноса

Ответ:12 см.

3.  Актуализация знаний учащихся

3.1 Задание по карточкам (четыре студента получают карточки-задания)

№1

№2

№3

При решении задачи используйте данные, отмеченные на готовом чертеже

№4

При решении задачи используйте данные, отмеченные на готовом чертеже

3.2 Фронтальный опрос с целью актуализации знаний учащихся для подготовки к решению задач.

Преподаватель: «Прежде, чем мы приступим к изучению новой темы, нам необходимо повторить аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей, свойства прямой, параллельной плоскости и свойства прямой, перпендикулярной плоскости».

·  Что изучает Стереометрия?

(Стереометрия – это геометрия в пространстве. Стереометрия — это раздел геометрии в котором изучаются свойства фигур в пространстве)

·  Назовите основные фигуры стереометрии.

(точка, прямая, плоскость)

·  Как может быть расположена прямая относительно плоскости?

(Принадлежать плоскости, не принадлежать плоскости параллельна плоскости),пересекать плоскость)

·  Какие прямые называются параллельными?

(Прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости)

·  Какие прямые называются скрещивающимися?

(Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости)

·  Продолжите фразу: «Прямая и плоскость называются параллельными, если они…»

(Не имеют общих точек)

·  Назовите признак параллельности прямой и плоскости

(Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.)

·  Продолжите признак параллельности двух плоскостей: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то...»

(такие плоскости параллельны)

·  Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

(Да)

·  Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

(Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости)

·  Как определить расстояние от точки до прямой на плоскости? (Кратчайшее расстояние от точки до прямой на плоскости - это длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой)

· 

А

По рисунку назовите: перпендикуляр, наклонную к плоскости, проекцию наклонной, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной.

(АВ – перпендикуляр

АС – наклонная

ВС – проекция наклонной

С

В

В – основание перпендикуляра

С – основание наклонной)

Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах (Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной)

Обратная теорема

(Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции)

4. Формирование мотивации (вступительная беседа с демонстрацией слайдов о применении признаков перпендикулярности прямой и плоскости, теоремы о трех перпендикулярах)

Вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали, что бы облегчить измерительные или строительные работы, перпендикуляр и наклонная - основные ориентиры при работе такого типа. Ознакомьтесь с примерами материальных моделей перпендикуляров к плоскости и нахождения углов.

5-6. Объяснение учебного материала и решение задач

№ 1 Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.(Ответ 12 см)

Решение.

Δ АВС- прямоугольный, т. к. АВ ^ .

По теореме Пифагора

СВ =

СВ ==

СВ

СВ = 12 см.

Ответ: 12 см.

№ 2

Из некоторой точки к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 60, перпендикуляр равен 12 см. Найдите

a)  угол между наклонной и плоскостью;

b)  наклонную и её проекцию на данную плоскость.

Решение

ΔСАВ - прямоугольный, т. к. АС ^ . АВ - наклонная, СВ - проекция наклонной.

ÐАСВ=90°, ÐСАВ = 60°, ÐСАВ = 180°- (90°+60°) = 30°.

Против угла в 30° катет равен половине гипотенузы. АС - катет, лежащий против угла в 30°. АС =

Следовательно, АВ = 2 АС, т. е. АВ=2*12 = 24. Наклонная равна 24 см.

При нахождении проекции наклонной можно использовать тригонометрическую функцию синуса ÐСАВ: СВ = АВ*

СВ = 24* см. Проекция наклонной равна

Ответ: 30°, 24 см.,

№3

Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.(Ответ 9 см)

Решение

АС = 15 см.

АD = 20 см.

Большей наклонной соответствует большая проекция, следовательно, Проекция АD = 16 см.

Задача сводится к нахождению отрезка СВ.

1)  Из прямоугольного треугольника DАВ найдем катет АВ по теореме Пифагора:

= = 12 см.

2)  Из Δ САВ найдем СВ по теореме Пифагора:

СВ = = .

Ответ:

№4 Устно. Докажите, что АО ^

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Найдем ÐАОС :

ÐАОС = 180°- (48° + 42°) = 90°.

Найдем ÐАОВ:

ÐАОВ = 180°- (55° + 35°) = 90°.

АО ^СО, АО ^ВО.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, АО^ .

№5 Устно.

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС ΔАВС. Определить вид ΔМВD, где D - произвольная точка прямой АС.

Решение

=>МВ.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости "Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения". Следовательно, МВ.

ΔМВD - прямоугольный.

№ 5 Задача на применение ТТП (теоремы о трех перпендикулярах)

Дано: ABCD – прямоугольник, АK (АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см, KС = 9 см. ρ - перпендикуляр. Найдите: ρ (K, (АВС)), ρ (АK, CD).

Решение

1. ρ (K, (АВС)) = АK

По теореме о трех перпендикулярах: " Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной", т. е. КВ

3. Δ KВС – прямоугольный. CB =см.

4. Δ AKD – прямоугольный. AK == 2 см.

5. ρ (АK, CD) = АD; AD = 4см.

Ответ: 4см

7. Закрепление и контроль усвоения нового материала.

Преподаватель демонстрирует тестовые задания на экране. Студенты самостоятельно отвечают на вопросы тестовых заданий в рабочих тетрадях, самостоятельно определяют истинность или ложность утверждения, отмечают в таблице соответственно знаками «+» и «-»; по завершении теста обмениваются тетрадями, после чего производится взаимопроверка, сверяя ответы с образцом.

1.  Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости параллельны)?

2.  Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?

3.  Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

4.  Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5.  Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей, параллельны)?

6.  Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой (прямая а и плоскость α, перпендикулярные к одной прямой с)?

7.  Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Эталон

	1	2	3	4	5	6	7
I вариант	-	+	-	-	+	-	+
IIвариант	+	-	-	-	-	-	+

Критерии оценок:

7 правильных ответов – «5»,

6 правильных ответов – «4»,

5 правильных ответов – «3».

Дополнительное задание

1. Дано ABCD – куб. Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:

а) СС1…(DCB); б) АА1…(DCB); в) D1C1…(DCB); г) В1С1…(DD1C1); д) В1С1…DC1; е) А1D1…DC1; ж) ВВ1…АС; з) А1В…ВС; и) А1В…DC1.

8. Заключительная часть занятия (подведение итогов и домашнее задание)

Преподаватель: « Научить решать геометрические задачи это значит не только подготовить их к хорошей сдаче экзамена, но это значит научить учащихся логически мыслить, доказательно отстаивать свою точку зрения, уметь творчески подходить к любому делу »

Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека. 

На заключительном этапе занятия преподаватель подводит итоги:

- оценивает степень достижения поставленных целей и задач учебного занятия;

- характеризует работу на занятии студентов, отмечает сильные и слабые стороны;

- объявляет оценки, используя объективные критерии по видам учебной деятельности (выступление с презентацией, участие в решении проблемы, ответы на заданные вопросы).

После подведения итогов занятия преподаватель объясняет домашнее задание, указывает учебник, страницы, опережающее задание к следующему занятию.

Домашнее задание: прочтение текста учебника и решение задач.

1.  Дадаян Гл.8, §8.10, с. 248-249. №17.

2.  Башмаков задач профильной направленности. Часть 1, Глава 3, с. 19-2. № 15, 25 (Устно)

3.  Богомолов задач по математике. М.: Дрофа. № 000,430.