IV Раздел. Временные ряды в эконометрических исследованиях (стр. 5 )

5. Модель имеет вид

.

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

Расчеты оформим в виде табл. 4.5.

Таблица 4.5

1	30	100	3000	30	100	10000	1
2	35	103	3605	70	206	10609	4
3	39	105	4095	117	315	11025	9
4	44	109	4796	176	436	11881	16
5	50	115	5750	250	575	13225	25
6	53	118	6254	318	708	13924	36
21	251	650	27500	961	2340	70664	91

Система уравнений примет вид

Решая ее, получим

= -5,42; = 0,322; = 3,516.

Уравнение регрессии имеет вид

.

Параметр = 0,322 фиксирует силу связи и . Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1%-ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастают в среднем на 0,322 руб. Параметр = 3,516 характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

Пример 3

По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней:

- коэффициенты автокорреляции i-го порядка.

Требуется:

1.  Охарактеризовать структуру этого ряда, используя графическое изображение.

2.  Для прогнозирования значений в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Выбрать наилучшее уравнение, обосновать выбор. Указать общий вид этого уравнения.

Решение

1.  Так как значения всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокие, ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции 4-го порядка , ряд содержит периодические колебания, цикл этих колебаний равен 4.

График этого ряда модно представить на рис 4.1.

Рис.4.1. Графики, характеризующие убывающую тенденцию

при разных возможных периодических колебаниях

2.  Наиболее целесообразно построение уравнения авторегрессии:

так как значение свидетельствует о наличии очень тесной связи между уровнями ряда с лагом в 4 месяца.

Кроме того, возможно построение и множественного уравнения авторегрессии от и , так как ;

Сравнить полученные уравнения и выбрать наилучшее решение можно с помощью скорректированного коэффициента детерминации.

Пример 4

На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь	-1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	-0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	-3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

,

при расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени ().

Требуется:

1.  Определить значение сезонной компоненты за декабрь.

2.  На основе построенной модели дать прогноз общего числа браков, заключенных в течении первого квартала следующего года.

Решение

1.  Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна нулю ( в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

= 0 – ( - 1 + 2 – 0,5 + 0,3 – 2 – 1,1 + 3 + 1 + 2,5 + 1 – 3) = -2,2.

2.  Прогнозное значение уровня временного ряда и аддитивной модели есть сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты .

Число браков, заключенных в первом квартале следующего года. Есть сумма числа браков, заключенных в январе , в феврале и в марте .

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условиях задачи:

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

= -1 – январь;

= 2 – февроаль;

= -0,5 – март.

Таким образом,

Количество браков, заключенных в первом квартале следующего года, составит:

2,61 + 5,64 + 3,17 = 11,42 тыс. или 11420.

Пример 5

Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн. долл.), представленными в табл.4.7.

Таблица 4.7

Год	Выпуск продукции	Год	Выпуск продукции
1961	1054	1979	11172
1962	1104	1980	14150
1963	1149	1981	14004
1964	1291	1982	13088
1965	1427	1983	12518
1966	1505	1984	13471
1967	1513	1985	13617
1968	1635	1986	16356
1969	1987	1987	20037
1970	2306	1988	21748
1971	2367	1989	23298
1972	2913	1990	26570
1973	3837	1991	23080
1974	5490	1992	23981
1975	5502	1993	23446
1976	6342	1994	29658
1977	7665	1995	39573
1978	8570	1996	38435

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:

y^t = 2,5 + 0,03*t;

Т37 = 2,5 + 0,03*37 = 3,61;

Т38 = 2,5 + 0,03*38 = 3,64;

Т39 = 2,5 + 0,03*39 = 3,67;

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

S1 = -1 – январь

S2 = 2 – февраль

S3 = -0,5 – март

Таким образом,

F37 = Т37 + S1 = 3,61 – 1 = 2,61;

F38 = Т38 + S2 = 3,64 + 2 = 5,64;

F39 = Т39 + S3 = 3,67 – 0,5 = 3,17;

Количество браков, заключенных в первом квартале следующего года, составит:

2,61+5,64+3,17=11,42 тыс. или 11420

Пример 5

Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн долл.), представленными в таблице 4.7

Год	Выпуск продукции		Год	Выпуск продукции
1961	1054		1979	11172
1962	1104		1980	14150
1963	1149		1981	14004
1964	1291		1982	13088
1965	1427		1983	12518
1966	1505		1984	13471
1967	1513		1985	13617
1968	1635		1986	16356
1969	1987		1987	20037
1970	2306		1988	21748
1971	2367		1989	23298
1972	2913		1990	26570
1973	3837		1991	23080
1974	5490		1992	23981
1975	5502		1993	23446
1976	6342		1994	29658
1977	7665		1995	39573
1978	8570		1996	38435

Требуется:

1. Провести расчет параметров линейного и экспоненциального трендов

2. Построить графики ряда динамики и трендов

3. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации

4.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Решение с использованием ППП MS Excel

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда – ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления был рассмотрен в первом разделе практикума. В качестве зависимой переменной в данном примере выступает время (t = 1,2,...n). Приведем результаты вычисления функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ (рис. 4.2 и 4.3)

 

Запишем уравнения линейного и экспоненциального тренда, используя данные рис. 4.2 и 4.3:

y^t = -1921124,37 + 977,12*t

y^t = - 1,0045t