Раздел 4. Однофазные электрические цепи синусоидального тока

Раздел 4. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Задача 4.1.

Определить угловую частоту вращения ΩР, ротора генератора переменного тока при частоте питающего напряжения f = 50 Гц и угловую частоту ω ЭДС, если ротор вращается с частотой n1 = 1000 об/мин.

Решение

1. Число пар полюсов генератора: = 3

2. Угловая частота вращения ротора:

3. Угловая частота переменного тока:

или

Ответ: ΩР= 104,5 с-1; ω=314 с-1

Задача 4.2.

Определить среднее значение синусоидального тока Iср по мгновенному его значению i=31,4sin(ωt+π/2)

Решение

Среднее значение синусоидального тока:

Ответ: Iср = 20 A

Задача 4.3.

Для синусоидального напряжения и тока (рис. 4.4) запи­сать выражения для мгновенных их значений. Определить период Т и время t0, соответствующее начальной фазе тока Yi, а также мгновенные значения напряжений u1 и u2 для моментов времени t1 = 0,00167 с и t2 = 0,005 с, если частота тока f = 50 Гц.

Рис. 4.4.

Решение

1. Мгновенные значения напряжения и тока име­ют вид:

и= Umsinωt = 100sin314f В,

i= Imsin(ωt+π/2) = 15sin(314t + π/2),

где Um, lm — амплитудные значения напряжения и тока.

2. Начальная фаза тока (в радианах):

3. Период переменного напряжения и тока:

T = 1/f= 1/50 = 0,02 с.

4. Время начала отсчета, т. е. время, соответствующее начальной фазе тока:

5. Мгновенное значение напряжения в момент времени t1:

α1 = ωt1= 2πft1 = 2π×50×0,00167= π×0,167= π× = 30°;

и1= Umsinωt1 = 100sin30° = 50 В.

6. Мгновенное значение напряжения в момент времени t2:

α1 = ωt1= 2πft1 = 2π×50×0,005= 0,5π = π× = 90°;

и2= Umsinωt1 = 100sin90° = 100 В.

Ответ: T = 0,02 с; = и= 50 В; и2= 100 В

Задача 4.4.

Определить максимальное Ет и действующее Е значе­ния ЭДС, наводимой в прямоугольной катушке с числом витков w = 200, вращающейся в однородном магнитном поле с постоян­ной частотой вращения п = 1500 об/мин. Размеры витка ка­тушки 3x3 (площадь витка SB = 3×3 = 9 см2). Индукция маг­нитного поля В= 0,8 Тл.

Построить кривые изменения магнитного потока и ЭДС во времени е, Ф(t), а также векторную диаграмму цепи.

Решение

1. Частота индуцированной в катушке ЭДС:

f = n/60 = 1500/60 = 25 Гц.

2. Максимальное значение магнитно­го потока:

Фт = SBB= 3×3×10-4×0,8 = 0,00072 Вб.

3. Амплитуд­ное значение ЭДС, наводимой в катушке, находят исходя из мгновенного ее значения:

= w2πfФmsin(ωt-π/2) = Emsin(ωt-π/2) = 200 × 2 × 3,14 × 25 × 0,00072sin(ωt - π/2) =

= 22,5 × sin(ωt — π/2),

откуда Em = 22,5 В.

4. Действующее значение ЭДС катушки :

Е = Ет/ = 22.5/ = 16 В.

5. Изменение потока и ЭДС во времени и векторная диаграмма приведены на, рис. 4.4, а, б.

Ответ: Em = 22,5 В; Е = 16 В.

Задача 4.5.

Переменный электрический ток задан уравнением

i = 100sin (628t - 60°).

Определить период, частоту этого тока и мгновенные значения его при t0 = 0; t1=0,152 с. Построить график тока.

Решение

1. Уравнение синусоидального тока в общем случае имеет вид:

i = Imsin (ωt ± Y).

Сопоставляя это уравнение с заданным частным уравнением тока, устанавли­ваем, что амплитуда Im = 100 А, угловая частота w = 628 рад/с, начальная фаза

Y = -6О°.

2. Период

3. Частота f =

4. Мгновенные значения тока найдем, подставив в уравнение тока заданные значения времени:

при t0 = 0: i0 = 100sin(wt0 - 60°)= 100sin(628×0 - 60°)= 100sin(-60°)= -86,5 А;

при t1 = 0,152 с: (значение ωt преобразуем в градусы, умножив на)

i1 = 100 sin(628×0,152 - 60° = 100 sin (15,2× 360°-60°),

Значения синусоидальной величины через 360° повторяются, поэтому мгновен­ное значение тока при угле ωt1= 15,2×360° будет таким же, как и при угле 0,2×360° = 72°;

i1= 100sin(72° - 60°) = I00sin12°=20,8 A.

5. Для построения графика i(ωt) нужно определить ряд значений тока, соответ­ствующих различным моментам времени (табл. 4.1 и рис. 4.8).

Таблица 4.5

t, с	0	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T
ωt, °	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	360
i, А			0						0

Рис. 4.5. Построение графика i(ωt) к задаче 4.5.

Ответ: ; f = ; i0 = -86,5 А; i1= 20,8 A.

Задача 4.6.

Синусоидальный ток имеет амплитуду Im = 10 А, угловую частоту ω = 314 рад/с и начальную фазу Y = 30°.

По этим данным составить уравнение тока, начертbть график тока i (ωt), соот­ветствующий этому уравнению, и определить по графику и расчетом:

а) период Т;

б) мгновенное значение тока при ωt = 0, ωt = 30°, ωt = 60°.

Решение

1. Составим уравнение мгновенного значения

i= 10sin(314t + 30°)

2. Рассчитаем полный период тока

3. Определим мгновенные значения тока:

а) при ωt = 0

i1= 10sin(0 + 30°) = 10sin(30°) = 10×0,5 = 5 A

б) при ωt = 30°

i2 = 10sin(30° + 30°) = 10sin(60°) = 10×0,865 = 8,65 A

в) при ωt = 60°

i3= 10sin(60° + 30°) = 10sin(90°) = 10×1 = 10 A

Ответ: ; i1= 5 A; i2 = 8,65 A ; i3= 10 A

Задача 4.7.

На рис. 4.7 изображены графики двух э. д.с. Написать уравнения кривых и определить угол сдвига фаз между ними. Определить из графиков мгновен­ные значения э. д.с. для момента времени t1 = 0,007 с и сравнить с результатами, полученными из уравнений.

Рис. 4.7. К задаче 4.7.

Решение

1. Составим уравнение мгновенного значения e1 и e2:

e1= 40sin(ωt - α)

e2= 50sinωt

2. Вычислим угловую скорость:

=314 рад/c

3. Из графика e1 опережает e2 на ¼ периода, т. е.:

α = 2π/4 = π/2

4. Рассчитаем e1 и e2 для момента времени t1 = 0,007 с:

e1= 40sin(ωt - α) = 40sin(314×0,007 - π/2) = 40sin(0,628) = 40×0,59 = 23,5 В

e2= 50sin(ωt) =50sin(314×0,007) = 50×0,81= 40,5 В

5. Определим по графику значения e1 и e2 для момента времени t1 = 0,007 с:

e1 ≈ 23 В

e2 = 40 В

Вывод: Значения ЭДС рассчитанные по формулам приблизительно равны значениям определенным по графику функций.

Ответ: e1 = 23,5 В; e2 = 40,5 В

Задача 4.8.

Э. д.с. электромашинного генератора выражается уравнением:

e = Emsin(314t+90°)

Определить число пар полюсов этого генератора, если известна скорость вращения ротора n = 75 об/мин.

На какой угол в пространстве поворачивается ротор генератора за ¼ периода?

Решение

Период э. д.с., наводимой в обмотке генератора, имеющего одну пару полюсов, равен времени одного полного оборота ротора. Угловая скорость вращения ротора может быть определена отношением полного угла, со­ответствующего одному обороту ротора, к периоду:

ω' = 2πT

Однако генератор может иметь не одну пару, а p пар полюсов. Полный цикл изменения э. д.с. в этом случае совершается при движении проводника мимо одной пары полюсов (как за полный оборот ротора в генераторе с р = 1), по­этому при одинаковой скорости вращения ротора период э. д.с. будет в р раз короче а частота в р раз больше.

Уменьшение периода и соответствующее увеличение частоты при данном числе пар полюсов можно получить, увеличивая скорость вращения ротора.

Частота синусоидальной э. д.с. при р = 1 равна числу оборотов ротора в се­кунду, а при р > 1

f =;

где п - частота вращения ротора, об/мин.

Из уравнения э. д.с. известна угловая частота ω = 314 рад/с;

При частоте вращения ротора n = 75 об/мин

При р= 1 за ¼ периода ротор повернется на ¼ окружности, т. е. в угловой мере на 90°. При р = 40 угол поворота ротора за ¼ периода будет в 40 раз меньше:

Задача 4.9. (доработать)

Написать уравнение э. д.с. генератора по следующим данным: за время, равное половине периода, ротор поворачивается в пространстве на угол φ0 = 45° при частоте вращения n = 750 об/мин.

Э. д.с. е переходит через нуль к отрицательному значению в момент времени t=8,34×10-3с от начала отсчета, а при t = 0 она равна 7000 В.

Решение

1. Определим число пар полюсов:

за ½Т угол поворота Y = 45°;

следовательно, за Т угол поворота Y = 90°.

Отсюда число пар полюсов

р = 360/90 = 4

2. Вычислим частоту тока

f = = 50 Гц

3. Рассчитаем угловую частоту

ω = 2πf = 3×3,14×50 = 314 рад/c.

4. Вычислим период

T =

5. Найдем начальную фазу Э. Д.С.

а) Э. Д.С. е переходит через нуль к отрицательному значению в момент времени t=8,34×10-3с от начала отсчета, т. е. время начальной фазы: .

tY = T- t = 0,01 - 0,00834= 0,00166

б) Угол начальной фазы определим через отношение T/ tY

Y = 60°

6. Найдем значение Э. Д.С.

7. Запишем общее уравнение

Задача 4.10.

Определить амплитудные Um и действующие U значения синусоидального напряжения, если его среднее значение Ucp = 198 В. Ответ округлить до целого.

Решение

1.  Из формулы среднего значения найдем максимальное значение напряжения:

Отсюда

2. Вычислим действующее значение:

Ответ: Um =310 В; U = 220 В.

Задача 4.11.

Определить амплитудное Um значение напряжения в электрической цепи синусоидального тока, частоту f, период Т переменного тока и начальный фазовый угол Yu, если мгновенное напряжение в сети и = 310sin(628 + π/3) В.

Решение

1. Из формулы мгновенного значения напряжения найдем:

Um = 310 В

2. Из формулы угловой частоты вычислим частоту тока f:

3. Вычислим период

T =

4. Начальный фазовый угол напряжения:

Ответ: Um = 310 В; f = 100 Гц; T = 0,01 с; Yu = π/3= 60°.

Задача 4.12.

Hис. 3.17

Определить коэффициенты амплитуды Kа и формы Кф
периодического напряжения u(t), линейная диаграмма изменения
мгновенного значения во времени которого приведена на

Решение

1. Для синусоиды Ка:

2. Для синусоиды Кф:

Ответ: Ka= 1,41; Kф = 1,11

Задача 4.16.

В сеть переменного тока при напряжении U = 120 В и частоте f = 50 Гц включена катушка с индуктивностью L = 0,009 Г (RK = 0). Определить реактивную мощность Q ка­тушки и энергию WLm, запасаемую в магнитном поле катушки, записать выражения для мгновенных значений напряжения и, тока i, ЭДС самоиндукции eL за период, если начальная фаза напряжения Yu= π/2. Построить векторную и временную диаграммы.

Решение

1. Индуктивное сопротивление катушки:

XL = ωL = 2rifL = 2×3,14×50×0,009 = 3 Ом.

2. Действующее значение тока:

I = U/XL = 120/3 = 40 А.

3.Реактивная мощность цепи:

Q= UI = 120-40 = 4800 ВАр = 4,8 кВАр

4. Максимальная энер­гия, запасаемая в магнитном поле катушки:

WLm = LIm2/2

Im = I= 40×141= 56,4 A

WLm = 0,009×56,42 = 14 Дж

5. Амплитудное значение напряжения и тока:

Um =U= 120×1,41 =169 В

6. Амплитудные значения:

тока

i = Imsinωt = Imsin(2πft) = 56,4sin(314t) A;

напряжения

и = uL = U/msin(ωt + π/2) = 169sin(314t+ π/2) B;

ЭДС самоиндукции катушки:

eL = —uL = 169,2sin(314 t - π/2) В;

7. Построим векторную диаграмму для действующих значений:

- по оси абсцисс отложим вектор тока;

- вектор напряжения опережает ток на π/2;

- вектор ЭДС самоиндукции находится в противофазе напряжению и отстает от тока на π/2.

Задача 4.17.

К сети переменного тока при напряжении U = 220 В и частоте f = 50 Гц подключен конденсатор с емкостью С = 20 мкФ.

Определить его реактивное сопротивление Хс, ток I, реактивную мощность Qc, максимальную энергию WCm, запасаемую в электрическом поле конденсатора.

Построить векторную диаграмму для данной цепи.

Решение

1. Реактивное сопротивление конденсатора:

2. Ток в цепи конденсатора:

I= U/Xc = 220/160 = 1,37 А.

3. Реактивная мощность цепи:

Qc= UI= 220×1,37 = 302 ВАр.

4. Максимальная энергия, запасаемая в электрическом поле конденсатора:

WCm = CU/2 = 20×10-6×2202/2 = 484×10-3 Дж.

7. Построим векторную диаграмму для действующих значений:

- по оси абсцисс отложим вектор тока;

- вектор напряжения отстает от вектора тока на π/2;