РОСЖЕЛДОР
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(РГУПС)
, ,
Определение момента инерции физического маятника
Методические указания к лабораторной работе по физике
Ростов-на-Дону
2007
УДК 681.3
Ладакин, Ю. Н.
Определение момента инерции физического маятника: методические указания к лабораторной работе по физике / , , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2007. – 10 с. : ил. – Библиогр.: 2 назв.
Содержатся краткие теоретические сведения по разделам «Колебания» и «Динамика твердого тела». Дано описание и принцип действия лабораторной установки, порядок выполнения работы и рекомендуемая литература. Сформулированы контрольные вопросы для закрепления полученных знаний.
Методические указания одобрены к изданию кафедрой «Физика» РГУПС. Предназначены для студентов всех специальностей РГУПС.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. (РГУПС)
Учебное издание
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к лабораторной работе по физике
Редактор
Техническое редактирование и корректура
Подписано к печати 28.12.07. Формат 60´84/16.
Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 0.58.
Уч.-изд. л. 0.53. Тираж 50 экз. Изд. № 58. Заказ №
Ростовский государственный университет путей сообщения.
Ризография РГУПС.
Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.
Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2007
Устройство и принцип действия установки
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, испытываемое тело (диск), электронный секундомер, штангенциркуль, линейка, отвертка.
Цель работы: определение момента инерции физического маятника экспериментальным и расчетным способами с использованием теоремы Штейнера.
Момент инерции – это физическая величина, количественно характеризующая инерциальные свойства тела при его вращательном движении. Инерция вращения твердого тела зависит не только собственно от массы тела, но и от распределения этой массы в пространстве относительно оси вращения.
Относительно просто рассчитываются моменты инерции геометрически симметричных тел. Аналитический расчет моментов инерции тел произвольной формы представляет собой громоздкую, требующую опыта вычислений задачу.
Рис. 1
Твердое тело произвольной формы, совершающее колебания относительно оси, проходящей через точку подвеса 
(рис. 1), называется физическим маятником. Требуется определить момент инерции 
этого маятника.
В положении равновесия центр масс 
маятника находится на вертикальной линии 
.
На маятник действуют две силы: сила тяжести 
и сила реакции подвеса 
(полагаем, что силы трения и сопротивления движению маятника отсутствуют). Отклоним маятник от вертикали на угол 
(угловое смещение). Дальнейшее движение предоставленного самому себе маятника можно рассматривать как вращательное относительно оси, совпадающей с осью , перпендикулярной к плоскости рисунка.
Согласно основному закону динамики вращательного движения угловое ускорение маятника (
) относительно оси равно отношению результирующего момента всех сил, действующих на маятник, к его моменту инерции относительно той же оси:
. (1)
Момент силы , условно показанной на рис. 1, равен нулю (как видно из рисунка – равно нулю плечо этой силы), и, следовательно, результирующий момент сил равен моменту силы тяжести относительно оси :
, (2)
где: 
– масса физического маятника, 
– ускорение свободного падения, 
– расстояние между точкой подвеса и центром масс . Знак минус в формуле (2) указывает, что момент силы тяжести препятствует увеличению углового смещения .
При малых амплитудах (
≤ 8°) колебаний маятника 
и из (1) с учетом (2) приходим к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка:
, где 
. (3)
Это означает, что малые колебания физического маятника являются гармоническими с круговой частотой 
и периодом 
(за период фаза колебаний изменяется на 
):
. (4)
С помощью формулы (4) можно экспериментально определять момент инерции любого тела путем измерения величин , и :
. (5)
УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ УСТАНОВКИ
Рис. 2
Физический маятник можно получить с помощью маятника Обербека. Он состоит из крестовины, выполненной из 4-х стержней и прикрепленной к втулке, вращающейся на жестко закрепленной горизонтальной оси. Если на одном из стержней закрепить тело, например диск, то полученная система будет представлять собой физический маятник (рис. 2). Ось вращения полученного маятника совпадает с центром масс маятника Обербека.
Непосредственное использование формулы (5) для расчета момента инерции данного маятника затруднительно. Это обусловлено сложностью точного нахождения как положения центра масс , так и массы всего маятника.
Рис. 3
Преобразуем уравнение (5) к виду с легко измеряемыми параметрами. Маятник представляет собой систему из двух жестко связанных тел: ненагруженного маятника Обербека с массой 
и однородного диска с массой 
(рис. 3).
Так как относительно центра масс векторная сумма моментов масс тел системы равна нулю, получаем:
.
Отсюда расстояние между осью вращения и центром масс полученного маятника равно:
. (6)
Подставим (6) в (5) и, учитывая, что 
, получаем расчетную формулу для экспериментально определения момента инерции испытываемого физического маятника:
. (7)
В формулах (6) и (7) 
– расстояние между осью вращения и центром масс диска (рис. 3). Диск однородный – его центр масс совпадает с геометрическим центром. Все величины в формуле (7) теперь достаточно легко измерить.
С другой стороны, момент инерции маятника можно рассчитать, если известен (относительно оси ) момент инерции 
ненагруженного маятника Обербека. Действительно, в силу свойства аддитивности момента инерции имеем:
,
где 
– момент инерции диска радиуса 
, рассчитанный по теореме Гюйгенса-Штейнера относительно оси (рис. 3):
.
Таким образом, формула для расчета момента инерции испытываемого нами маятника принимает вид:
. (8)
1 Диск известной массы закрепить на одном из стержней маятника Обербека. Значение расстояния между осью вращения и центром диска получить у преподавателя.
2 Отклонив маятник на малый угол , возбудить его колебания. Измерить время 
десяти колебаний. Измерения повторить еще 2 раза и их результаты занести в таблицу.
3 Найти среднее время 
10-ти колебаний и определить величину периода .
4 Уменьшить величину расстояния на 
= 5 см. Выполнить измерения по пп. 2, 3.
5 По формуле (7) вычислить экспериментальные значения моментов инерции 
и полученные результаты занести в таблицу.
Таблица
Параметр |
|
| |
| |||
| 1 | ||
2 | |||
3 | |||
ср. | |||
| |||
|
/10, с6 Определить разницу между значениями экспериментальных моментов инерции маятников с расстояниями 
и 
: 
.
7 На основе формулы (8) определить разницу между расчетными значениями моментов инерции маятников с и : 
.
8 Сравнить величины 
и 
. Объяснить причины возникающих расхождений.
1 Момент инерции твердого тела, его свойства и методы определения.
2 Расчет моментов инерции тел, обладающих симметрией.
3 Теорема Гюйгенса-Штейнера и её применение.
4 Что представляет собой физический маятник? Зависит ли частота и период колебаний физического маятника от амплитуды? От чего они зависят?
5 Найдите период физического маятника, если дифференциальное уравнение его колебаний имеет вид: 
1 Савельев, И. В. Курс общей физики, т. 1. Механика. Молекулярная физика: учеб. пособие / . – М.: Наука, 1982. – 432 с.
2 Демехин, В. Ф. Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика и тер-модинамика: методические указания для самост. изучения курса физики / , , . – Ростов н/Д: РГУПС, 2001. – 120 с.
