ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Спецкурс программы специалитета, полугодовой: Орторекурсивные разложения.
2. Преподаватель: доц. .
3. Аннотация курса: определение и общие свойства орторекурсивных разложений, орторекурсивные разложения по конкретным функциональным системам (характеристическим функциям двоичных промежутков, системам сжатий и сдвигов), абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по переполненным системам.
4. Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Ортогональные разложения в гильбертовых пространствах, их общие свойства. |
Тема 2 | Система Хаара. |
Тема 3 | Определение и общие свойства орторекурсивных разложений. |
Тема 4 | Орторекурсивные разложения по системе характеристических функций двоичных промежутков: явный вид частичных сумм, связь с разложением по системе Хаара. |
Тема 5 | Орторекурсивные разложения по системе характеристических функций двоичных промежутков: теоремы о сходимости и скорости сходимости. |
Тема 6 | Орторекурсивные разложения по системе подпространств: определение, некоторые свойства. |
Тема 7 | Системы двоичных сжатий и сдвигов, сходимость орторекурсивных разложений по таким системам. |
Тема 8 | Системы двоичных сжатий и сдвигов, порожденные совокупностью функций, сходимость орторекурсивных разложений по таким системам. |
Тема 9 | Орторекурсивные разложения, устойчивые к конечному числу ошибок: эквивалентные определения переполненности, примеры. |
Тема 10 | Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений, устойчивых к конечному числу ошибок, к абсолютным ошибкам. |
Тема 11 | Основная теорема об абсолютной устойчивости орторекурсивных разложений, устойчивых к конечному числу ошибок. |
Тема 12 | Теорема об абсолютной устойчивости орторекурсивных разложений, устойчивых к конечному числу ошибок: нерасширяемость класса ошибок. |
Тема 13 | Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по системе подпространств: положительные результаты. |
Тема 14 | Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по системе подпространств: окончательность условий. |
Тема 15 | Матрица Грама системы элементов и сходимость орторекурсивных разложений по этой системе: формулировка критерия сходимости, доказательство вспомогательных утверждений. |
Тема 16 | Матрица Грама системы элементов и сходимость орторекурсивных разложений по этой системе: доказательство критерия сходимости. |
Тема 17* | Чисто жадные разложения, их связь с орторекурсивными разложениями. |
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).
5. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену:
1) Общие свойства ортогональных разложений в гильбертовых пространствах.
2) Определение и общие свойства орторекурсивных разложений по системе элементов.
3) Определение и общие свойства орторекурсивных разложений по системе подпространств.
4) Ортогональные разложения по системе Хаара.
5) Орторекурсивные разложения по системе характеристических функций двоичных промежутков.
6) Орторекурсивные разложения по системам двоичных сжатий и сдвигов.
7) Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по переполненным системам элементов.
8) Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по переполненным системам подпространств.
9) Связь сходимости орторекурсивных разложений по системе элементов и матрицы Грама системы.
Текущий контроль успеваемости – практические задачи для самостоятельного решения, на 10-й неделе.
Примеры предлагаемых задач:
1) Докажите, что для любой ортогональной системы не более чем счетное число коэффициентов Фурье отлично от нуля.
2) Оцените скорость сходимости орторекурсивных разложений в случае конечномерных пространств.
3) Докажите, что если разложение по системе из n элементов n-мерного пространства гарантированно совпадает с разлагаемым элементом, то система – ортобазис.
4) Приведите пример функции, непрерывной на отрезке [0,1], для которой орторекурсивное разложение по системе функций xn (n=0,1,2,…) не сходится к разлагаемой функции в метрике L2.
5) Верно ли, что если для некоторого элемента его орторекурсивное разложение по заданной системе элементов расходится, то этим же свойством обладает орторекурсивное разложение этого элемента по каждой подсистеме этой системы?
6. Перечень основной и дополнительной учебной литературы:
1) «О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам» // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2001, №1: 6–10.
2) «Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов» // Матем. сб., 2004, 195(7): 21–36.
3) Политов A. B. «Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах» // Вест. Моск ун-та. Сер.1.Матем., мех., 2010, №3, 3–7.
4) «Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов» // Изв. РАН. Сер. матем., 2005, 69(1): 3–16.
5) «Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах» // Матем. заметки, 2013, 93(4): 637–640.
6) , «Орторекурсивные разложения по подпространствам» // ДАН, 2012, 445(2): 135–138.
7) , , «Орторекурсивные разложения» // Современные проблемы математики и механики, 2014, 9(2): 13–25.
7. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»: http://www. mathnet. ru/
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.
