Тема: Ряды

1.Тема: Ряды.

2.Количество учебных часов-3 часа (по 50 мин).

3.Актуальность темы (мотивация изучения).

Ряды являются одним из важнейших математических аппаратов, которые применяются как в теоретических исследованиях в различных разделах самой математики, так и в вычислениях практических задач.

4.Цели занятия.

Ввести понятия числового ряда, сходимости и расходимости числового ряда, свойств сходящихся рядов.

Научить исследовать ряд на сходимость, используя необходимый и достаточные признаки сходимости.

- студент должен знать:

1.  Определение числового ряда.

2.  Понятие общего члена ряда.

3.  Определение суммы ряда.

4.  Определение сходимости и расходимости рядов.

5.  Необходимое условие сходимости ряда.

6.  Достаточные условия сходимости ряда.

- студент должен уметь:

1.  Пользуясь формулой общего члена ряда, написать любой член ряда.

2. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения, Даламбера, по интегральному признаку Коши, по признаку Лейбница.

5. Вопросы для подготовки к занятию.

- по базисным знаниям:

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел

функций. Несобственный интеграл.

- по теме занятия:

1.  Что называется числовым рядом? Что называется общим членом ряда?

2.  Что называется суммой ряда? Дать определение сходящегося и расходящегося рядов.

3.  В чем состоит необходимый признак сходимости ряда?

4.  Сформулировать теорему о сравнений двух рядов с положительными членами.

5.  В чем состоит признак Даламбера?

6.  В чем состоит интегральный признак Коши?

7.  Какой ряд называется знакочередующимся? В чем состоит признак Лейбница?

6. Информационно-дидактический блок:

Краткая теория по теме: основные понятия, основные свойства сходящихся рядов, необходимое условие сходимости ряда. Достаточные условия сходимости: признак сравнении, интегральный признак Коши, знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимости рядов

1.Основные понятия.

Пусть дана бесконечная числовая последовательность

Определение. Выражение вида

(1)

называется числовым рядом или просто рядом.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда. Чаще всего общий член ряда задается формулой , пользуясь который можно сразу написать любой член ряда.

Например, если , то ряд имеет вид

И наоборот, если , то ряд таков:

задается сам ряд, то можно написать его общий член.

Например:

или

и значит

Числа называются членами ряда, член а с произвольным номером - общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

S=,

S=,

S=

...................................................

S,…

называются частичными суммами ряда (1).

Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

S, S, S,…,S,… (2).

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1).

Символически это записывается так :

S=а+а+а+…+а+… или S=а

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример 1. Покажем, что ряд

сходится. Возьмем сумму S первых п членов ряда

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

Поэтому

S

Следовательно:

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Пример 2. Установим сходимость ряда

1-1+1-1+…+(-1)+…=(-1)

Последовательность его частичных сумм имеет вид S=1,S=0, S=1, S=0,… и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

2.Основные свойства сходящихся рядов.

Теорема1: Если сходится ряд

а+а+а+…+а+а+а+…+а+а+…=а (3)

то сходится и ряд

а+…+а+а+…= (4)

и обратно, если сходится ряд (4), то сходится и ряд (3).

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

Теорема 2: Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где - некоторое число, так же сходится, и его сумма равна S.

Теорема 3: Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S / и S//, то и ряд сходится и его сумма равна S / S//.

3. Необходимое условие сходимости ряда.

При рассмотрении рядов возникают две задачи:

1)  исследовать ряд на сходимость и

2)  зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема 4: Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. . Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

Пример 3. Рассмотрим ряд

который называют гармоническим рядом.

Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как

Докажем, что этот ряд расходится.

Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

но

т. е. . Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, только невыполнение необходимого условия сходимости позволяет делать определенный вывод, т. е. если для некоторого ряда его общий член не стремится нулю, то такой ряд расходится, а его выплонение не позволяет судить о сходимости. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условии (признаков) сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами

Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

4. Достаточные условия сходимости.

Признак сравнения.

Теорема 6: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство .Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример 4. Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогресии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогресии: .

Признак Даламбера.

Теорема 7. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда а) при q<1 ряд сходится;

б) при q>1 ряд расходится;

Замечание. При q=1 ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 5. Ряд сходится, т. к.

.

Пример 6. Ряд расходится, т. к.

.

Интегральный признак Коши:

Теорема 8. Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд также расходится, где

Пример 7.

Положим ;;

Проверим существование несобственного интеграла от этой функций:

, так как интеграл сходится, то на основании интегрального признака сходится и данный ряд.

Пример 8. ;

т. е. расходиться.

5. Знакочередующиеся ряды.

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удовства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующися ряд можно записать в виде

, где (5)

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница.

Теорема 9. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (5) монотонно убывают: и , то ряд сходится.

Пример 9. Ряд ;

1) ;

2) . т. е. по признаку Лейбница ряд сходится.

7. Содержание занятия:

- Самостоятельная работа студентов.

1. Написать первые пять членов по заданному общему члену.

à)

á)

â)

ã) .

2. Найти формулу для общего члена ряда.

à)

á)

â)

ã) 2+10+26+82+242+730+…

3. Исследовать сходимость рядов.

По признаку Даламбера: а) ; á) ;

По признаку сравнения: в) ; ã) ; д) ;

По признаку Лейбница: å) .

- Работа с преподавателем.

Преподаватель проводит проверку самостоятельной работы студентов с опросом по теме каждого студента. Обсуждает результаты СРС, уточняет некоторые моменты по теме, выясняет пробелы в знаниях и устраняет их.

- Контроль исходного и итогового уровня знаний.

Анализ и итог практического занятия по ответам на вопросы для самоподготовки, индивидуальных работ студентов.

Литература

Основная

1)  ''Высшая математика'', Москва, ''Высшая школа'', 2004 г.

2)  и. др. “Высшая математика для экономистов”, М. 2004 г.

3)  «Высшая математика для экономических специальностей» (практикум) М. 2005г. 1,2-ч.

4) «Конспект лекций по высшей математике». М. Айрис Пресс, 2003г.

5) и др. «Сборник задач по высшей математике». М. Айрис Пресс,2003г.

Дополнительная:

1., «Краткий курс высшей математики». Москва «Наука» 1989г.

2. -Мусатов «Начала математического анализа». Москва «Наука» 1988г.