О почти-периодических (п. п.) многозначных функциях

О ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ (П. П.) МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ

Каршинский государственный университет.

В настоящей работе рассмотрены основные свойства почти-периодических функций, значениями являются компактные множества пространства .

Основные свойства почти-периодических функций, значениями являются компактные множества пространства обобщает известные свойства однозначных функций (cм. [1], [2]). Результаты применимы к исследованию дифференциальных включений с почти - периодическими правыми частями.

В дальнейшем через обозначается числовая ось, через – метрика Хаусдорфа на и . Основные понятия теории многозначных функций указаны в [3].

Пусть есть – непрерывная многозначная функция. Приведем основные определения.

Определение-1: Множество действительных чисел называется относительно плотным, если существует такое число , что в каждом интервале длины содержится хотя бы одно число множества .

Определение-2: Число называется – почти-периодом многозначным функции , если

(1)

Определение-2 (Бор). – непрерывная многозначная функция называется - почти-периодической (п. п.), если для каждого существует относительно плотное множество – почти-периодов этой функции.

Каждая периодическая многозначная функция является также и п. п. функций. В самом деле, если период , то все числа вида также является периодами , и значит – почти-периодами для любого . Остается заметить, что множество относительно плотно.

Отметим элементарные свойства многозначных п. п. функций, которые следует непосредственно из их определения.

а) Если – многозначных п. п. функция, то – также многозначных п. п. функции.

б) Если – многозначных п. п. функция, то – (с – дейст. число) также многозначных п. п. функции.

Рассмотрим теперь следующие два свойства многозначной функции.

Теорема-1: Если многозначная функция ограничена, т. е. существует такая постоянная величина , что .

Доказательство: Пусть многозначная п. п. функция и . Определим число согласно основному определению. Заметим, что – непрерывная однозначная функция. Обозначим через .

Пусть – произвольная точка . Выберем почти-период и интервале . Тогда . Далее имеем

.

Теорема-2: Пусть – непрерывная многозначная п. п. функция. Тогда – равномерно – непрерывна на .

Доказательство: Обозначим через произвольное положительное число и определим число . В замкнутом интервале многозначная функция – равномерно – непрерывна. Поэтому можно указать такое положительное число , что для любых чисел и на отмеченного интервала, для которых выполняется неравенство

Пусть теперь и – любая пара числа из , для которой . Обозначим – почти-период многозначной функции , заключенный в интервале . Так как по условию и , то, как легко видеть, число во всяком случае не выходит из интервала . Поэтому

.

и так как выбрали произвольно, то теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЕ

1. Левитан -периодические функции. – М.: ГИТТЛ. 1953. – 396 с.

2. , Жиков -периодические функции и дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во МГУ, 1978. – 206 с.

3. , , Обуховский в теорию многозначных отображений. – Воронеж. Изд-во ВГУ, 1986. – 104 с.