П. Харьковский национальный технический университет им. П. Василенко В. Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт» | УДК 532:631.362
гармонические колебания неоднородного псевдоожиженного слоя зерна на плоском виброрешете В функціях Кельвіна побудовано аналітичний розв’язок граничної задачі гідродинаміки, який описує коливання неоднорідного псевдорозрідженого шару зерна, що сепарується плоским віброрешетом. Зміна ефективної вібров’язкості суміші по товщині шару апроксимована степеневою функцією з додатнім показником степеня. Вивчено затухання вібраційного поля з віддаленням від поверхні віброрешета. In Kelvin's functions constructed an analytic solution of the boundary value problem in hydrodynamics, which describes the fluctuations of the inhomogeneous fluidized bed of grain, flat-Separated on the vibrosieve. Change in the effective vibroviscosity mixture over the layer thickness is approximated by a power function with a positive exponent. Investigated the vibration damping field with distance from the surface of the vibrosieve. |
Постановка проблемы. Используя вибрации, в решетном сепарировании интенсифицируют разделение зерновой смеси на фракции. Для повышения эффективности этого способа разделения зерновых смесей нужно знать закономерности распространения колебаний в слое зерна, движущегося по виброрешету. Один из возможных способов описания зависимости поля скоростей от времени в колеблющейся сыпучей среде основан на применении уравнений течения вязкой ньютоновской жидкости. В этом способе математическое моделирование сводится не к традиционному анализу движения отдельной твердой частицы (зерна), а – к решению краевой задачи гидродинамики. Этот подход к моделированию использован в данной работе, в предположении, что плоское наклонное виброрешето совершает продольные колебания в своей плоскости и полностью загружено слоем зернового материала.
Анализ последних исследований и публикаций. Колебания неоднородного слоя зерновой смеси с переменной вибровязкостью по толщине, вызванные продольными вибрациями плоского решета, рассматривали в [1-7]. В [1,2] задавали линейный закон изменения вибровязкости по толщине слоя, при котором она равнялась нулю на свободной поверхности слоя. Этот недостаток теории устранен в [3], где учтена ненулевая поверхностная вибровязкость смеси. Случай квадратичного изменения вибровязкости по толщине слоя рассмотрен в [4], причем решение краевой задачи выражено в элементарных функциях, несмотря на переменность коэффициентов в уравнении движения смеси. С помощью функций Кельвина дробного индекса в [5] решена задача кинетики зернового слоя на плоском виброрешете, когда изменение вибровязкости смеси подчиняется гиперболическому закону. Вышеперечисленные работы кинетики зерновой смеси, в которых изменение вибровязкости аппроксимируется нелинейной функцией поперечной декартовой координаты, немногочисленны. Они включены в монографию [6]. Позже появилась публикация [7], в которой с помощью функций Кельвина описано поле вибраций в зерновой смеси со степенной неоднородностью и положительным показателем степени. Но в ней, как и в [1,2], на свободной поверхности слоя вибровязкость смеси равна нулю, что противоречит конечной дисперсности частиц, образующих зерновую смесь. Поэтому здесь поставлена задача уточнить результаты статьи [7] учетом поверхностной вибровязкости смеси.
Целью работы является вывод и апробация расчетами формул для определения скорости потока зернового слоя по наклонному виброрешету, когда изменение вибровязкости смеси аппроксимируется степенной функцией с положительным показателем степени.
Основная часть работы. При постановке краевой задачи придерживаемся расчетной схемы, представленной на рис. 1.
Рис. 1. Расчётная схема движения слоя зерновой смеси по виброрешету
Здесь 
соответственно продольная и поперечная декартовы координаты; 
толщина зернового слоя; 
угол наклона решета к горизонту; 
амплитуда и частота продольных вибраций решета.
Проекцию скорости потока 
на ось 
полагаем равной нулю, а проекцию 
на ось 
считаем независимой от 
, что соответствует установившемуся режиму течения.
В этих предположениях из системы в [8], которая описывает плоское течение неоднородной вязкой жидкости, следует уравнение для определения 
:
, (1)
в котором 
эффективная кинематическая вибровязкость зерновой смеси; 
ускорение свободного падения; 
время.
Уравнение (1) решаем при граничных условиях:
; 
. (2)
Искомую скорость представляем суммой
. (3)
Используя (1) и (2), определение слагаемых в (3) сводим к решению двух краевых задач:
;
(4)
; 
и
;
(5)
; 
.
Изменение кинематической вибровязкости смеси по координате у описываем степенной функцией
, (6)
в которой 
значение вибровязкости на свободной поверхности слоя; 
неотрицательные постоян-ные.
При этом исключаем из рассмотрения случаи: 
и 
, которым посвящены работы [3,4].
Решение краевой задачи (4) для зависимости (6) построено в [6] и представлено в виде:
,(7)
где 
; 
; 
.
При 
из (7) следует известная формула усредненной за период колебаний скорости однородного слоя [2]
.
Раскрывая скобки, преобразуем уравнение (5) к новой переменной 
:
. (8)
Его решение представляем суммой:
,(9)
в которой комплексная функция вещественного аргумента 
удовлетворяет уравнению:
, 
(10)
и граничным условиям:
. (11)
Общим решением (10) является:
. (12)
Здесь 
; 
; 
; 
; 
модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда индексов 
; 
вещественные произвольные постоянные.
Выделяя вещественную и мнимую части , учтем, что [9]:
;
(13)
.
Здесь 
, 
, 
, 
функции Кельвина индекса .
Используя (13), из (12) получаем
; (14)
.
Выражения (14) дифференцируем по формулам [9]:
;
;
;
.
Подставляя (14) и их производные в (11), получаем систему четырех уравнений:
,
,
, (15)
,
в которой 
;
;
;
;
.
Решив систему (15), находим значения констант:
;
;
; 
;
; (16)
; 
;
.
Используя (3), (7), (9), (14) и (16), получаем формулу скорости зернового потока
, (17)
в которой
;
.
На интенсивность сегрегации смеси существенно влияет градиент скорости потока, который определяется производной 
. Вычислим далее эту производную. Дифференцирование (17) по 
дает:
. (18)
Здесь
;
,
а функции 
, 
, указаны выше.
Подчеркнем, что в силу граничных условий 
. Поэтому на свободной поверхности слоя градиент скорости потока равен нулю.
Интегрируя решение (17) по у можно вычислить производительность решета. Она также выражается с помощью функций Кельвина [9], но это интегрирование здесь не излагаем.
Для проведения расчетов принимаем: 
; 
м; 
с-1; 
м; 
м2/с; 
м-1 и различные 
.
|
, м/с и по формулам(17) и (18) при 
представлены на рис. 2 и 3.
Рис. 2. Зависимости скорости от времени для разных у: 1, 2, 3, 4 – | ||||
Рис. 3. Зависимости производной скорости от времени для разных у: 1, 2, 3, 4 – |
; 0,5; 0,75; 1
, с-1
; 0,5; 0,75; 1Амплитуды колебаний скорости при 
значительно меньше, чем у поверхности виброрешета при 
. Это касается и колебаний производной скорости, т. е. наблюдается быстрое затухание вибрационного поля в движущейся зерновой смеси.
|
, м/с
) для трех значений показателя степени .
Рис. 4. Колебания скорости при различных |
При 
неоднородность слоя больше, чем при 
. Показатель существенно влияет на колебания скорости потока и средние значения скорости, относительно которых происходят эти колебания. Изложенная теория позволяет учитывать это влияние.
Рис. 5. Колебания производной скорости при различных 1, 2, 3 – |
Литература
1. Тищенко неоднородного зернового потока на виброрешетах / , , // Вібрації в техніці та технологіях. – 2010. – № 4 (60). – С. 138-143.
2. Тищенко сепарирования зерна / , , . – Харків: Міськдрук, 2010. – 174 с.
3. Ольшанский скорости вибротранспортирования решетом неоднородного слоя зерновой смеси / , // Транспортное машиностроение: Вестник НТУ «ХПИ». – Харьков: НТУ, 2010. – Вып. 38. – С. 134-139.
4. К расчету колебаний скорости движения зерновой смеси на плоском виброрешете / , // Динаміка та міцність машин: Вісник НТУ «ХПІ». – 2010. – Вып. 37. – С. 123-129.
5. К расчету колебаний неоднородного слоя зерновой смеси на виброрешете / , , // Вібрації в техніці та технологіях. – 2011. – № 1 (61). – С. 182-185.
6. Тищенко сепарация зерновых смесей / , . . – Харьков: Міськдрук, 2011. – 280 с.
7. Ольшанский неоднородного слоя зерна на плоском виброрешете / , // Динамические системы. – 2010. – Вып. 28. – С. 162-170.
8. О применении уравнений движения неоднородной вязкой жидкости в моделях сепарирования зерна / , , // Механізація сільськогосподарського виробництва та переробки сільськогосподарської продукції: Вісник ХНТУСГ. – Харків: ХНТУСГ, 2010. – Вип. 103. – С. 320-327.
9. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами) / А. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
