Задача 1

Задача 1.

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащённости х (тыс. руб.):

. Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19.

Задание

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет х=200 тыс. руб.;

б) индекс корреляции;

в) F – критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а)

Показывает если уровень технической оснащённости (х) увеличивается

на 1 %, то себестоимости единицы продукции (у) уменьшается на 0,149 %.

б)

Связь между у и х сильная и прямая.

в)

F табличное =4,96

Рассчитав F критерий Фишера увидим, что F табличное =4,96> F расчетное =3,75 следовательно линейная модель статистически незначима при α=0,05.

Задача 2.

Таблица 1. Показатели для расчёта линейной функции y=a+b·x

Рассчитав уравнение линейной функции видно, что если х увеличиться на 1 рубль, то у уменьшиться на 0,54 %.

Коэффициент корреляции R показывает, что связь между х и у прямая 0,84%

Коэффициент детерминации R2 показывает, что качество модели высокое и вариация результата у на 71% объясняется вариацией фактора х.

Рассчитав F критерий Фишера увидим, что F табличное =4,41< F расчетное =43,48 следовательно линейная модель статистически значимая при α=0,05.

Рассчитав среднюю ошибку аппроксимации видно, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 9,86% точность построения модели невысокая и качество невысокое.

Таблица 2. Показатели для расчёта степенной функции y=a·xb

Рассчитав уравнение степенной функции видно, что если х увеличиться на 1%, то у уменьшиться на 0,77 %.

Коэффициент корреляции R показывает, что связь между х и у прямая 0,83%

Коэффициент детерминации R2 показывает, что качество модели высокое и вариация результата у на 69% объясняется вариацией фактора х.

Рассчитав F критерий Фишера увидим, что F табличное =4,41< F расчетное =40,17 следовательно линейная модель статистически значимая при α=0,05.

Рассчитав среднюю ошибку аппроксимации видно, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 9,83% точность построения модели невысокая и качество невысокое.

Таблица 3. Показатели для расчёта показательной функции y=a·bх

Рассчитав уравнение показательной функции видно, что если х увеличиться на 1 рубль, то у уменьшиться на 0,54 %.

Коэффициент корреляции R показывает, что связь между х и у прямая 0,83%

Коэффициент детерминации R2 показывает, что качество модели высокое и вариация результата у на 69% объясняется вариацией фактора х.

Рассчитав F критерий Фишера увидим, что F табличное =4,41< F расчетное =40,80 следовательно линейная модель статистически значимая при α=0,05.

Рассчитав среднюю ошибку аппроксимации видно, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических на 10,13% точность построения модели невысокая и качество невысокое.

Таблица 4. Сводная таблица уравнений парной регрессии.

Модели Показатели	Линейная y=a+b·x	Степенная y=a·xb	Показательная y=a·bх
R	0,84	0,83	0,83
R2	0,71	0,69	0,69
F	43,48	40,17	40,80
	9,86	9,83	10,13

В сводной таблице видно, что лучшей является степенная функция, но все рассчитанные модели являются статистически незначимыми из-за слабой связи х и у и малыми числами наблюдений.

Таблица 5. Показатели для расчёта степенной функции упрогн= а∙хпрогнb при увеличении на 0,04 %

хпрогн=·1,04= 716,77

упрогн= а∙хпрогнb= 2,82∙716,770,77 = 445,5

Ттабл = 2,1009 при df = n-m-1=18, при α = 0,05

При увеличении х на 0,04 % результат у будет изменяться (увеличиваться ) от 445,49 до 445,6

Задача 3.

Изучается зависимость по 30 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2 (%).

Данные приведены в таблице.

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
у	250	38	ryx1 = 0,68
х1	47	12	ryx2 = 0,63
х2	112	21	rx1x2 = 0,42

Задание.

1.  Постройте линейные уравнения парной регрессии, оцените их значимость с помощью F - критерия Фишера.

2.  Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

3.  Рассчитайте множественный коэффициенты корреляции.

4.  Рассчитайте общий и частные критерии Фишера.

Решение:

1. у = а1 + b1х1 у = а + b2х2

∑у = nа1 +b1∑ х1 ∑у = nа +b2∑ х2

∑ху = а1∑ х1 +b1∑ х12 ∑ху = а∑ х2 +b2∑ х22

250 = 30а1 + 47b1 250 = 30а + 112b2

11750 = 47а1 + 2209b1 297 = 112а + 12544b2

8,33 = а1 + 1,56b1 8,33 = а + 3,7b2

250 = а1 + 47b1 2,65 = а + 112b2

- 241,7 = - 45,4b1 5,68 = - 108,3b2

b1 = b2 =

а1 = 8,33 – 1,56(5,32) = 0,03 а = 8,33 – 3,7(- 0,05) = 8,51

у = 0.03 + 5.32х1 у = 8.51 – 0.05х2

Если х1 увеличится на 1 руб., то у увеличится на 5.32, если х2 увеличится на 1 руб., то у уменьшиться на 0,05.

]Коэффициенты корреляции

rх1у==

rх2у==

rх1у2=2,82 rх2у2=0,0009

Вариация результата у объясняется вариацией факторов х1 и х2, учтенных в модели, на долю х1 приходится 282 % от общей вариации у, а на долю х2 приходится 0,09 %.

Fтабл. = 4,21

Fx1 < Fтабл. Þ фактор х1 нецелесообразно включать в модель.

Fx2 < Fтабл. Þ фактор х2 нецелесообразно включать в модель.

Следовательно линейная модель статистически незначима.

2.у = а + b1х1 + b2х2

bi = b1*dy/dxi

b1 = 0.5*38/12 = 1.58

b2 = 0.41*38/21 = 0.74

а = 250-0.5*47-0,41*112 = 180.58

у = 180.58+0,5х1+0,41х2

Если х1 увеличится на 1 руб., то у увеличится на 0,5, если х2 увеличится на 1 руб., то у увеличится на 0,41.

ty = b1tx1 + b2tx2

Ryx1 = b1 + Rx2x1b2

Ryx2 = b1Rx1x2 + b2

 

0.68 = b1 + 0.42b2

0.63 = 0.42b1 + b2

b1 = 0.68 - 0.42b2

0.63 = (0.68 - 0.42b2)*0.42 + b2

0.63 = 0.2856 - 0.176b2 + b2

0.63 = 0.2856 + 0.824b2

b2 = (0.63 – 0.2856)/0.824

b2 = 0.41

b1 = 0.68 - 0.42*0.41

b1 = 0.5

ty = 0.5tx1 + 0.41tx2

Если х1 увеличится на 1d, то у увеличится на 0,5d если х2 увеличится на 1d, то у увеличится на 0,41d.

|b| < |b| Þ х2 сильнее влияет на у, чем х1.

3.  Коэффициент множественной корреляции.

R2yx1x2 = 0.772 = 0.59

Зависимость у от х1, х2 тесная, в ней 59 % вариации у объясняется вариацией факторов, учтенных в модели, на долю прочих факторов, не включенных в модель приходится 41 % от общей вариации у.

4.

Fтабл. = 3,35

Fрасч. > Fтабл. Þ уравнение множественной регрессии статистически значимо.

Fтабл. = 4,21

Fx1 > Fтабл. Þ фактор х1 целесообразно включать в модель т. к. он увеличивает качество модели

Fx2 > Fтабл. Þ фактор х2 увеличивает качество модели Þ его необходимо включать в уравнение.

Литература

1. Эконометрика: Учебник под ред. , М: «Финансы и статистика», 2001;

2. «Практикум по эконометрике» под ред. , М: «Финансы и статистика», 2001;

3. Мхитарян, Айвазян «Прикладная статистика и основы эконометрики». М: Юнити, 1998;

4. , , «Эконометрика. Начальный курс: учебник». М: Дело, 2001;

5. К. Доугерти. «Введение в эконометрику». М: Инфра-М. Норма, 1999.