Урок 3. Иррациональные и действительные числа (стр. 5 )

Вопрос. Как доказать иррациональность числа , у которого после запятой подряд выписаны все натуральные числа?

3.14. Запись действительного числа в двоичной системе счисления

Как и рациональные числа, действительные числа допускают разные способы записи, например их можно записывать в различных системах счисления. Покажем, как представлять действительное число в двоичной систем счисления.

Возьмем на числовой прямой произвольную точку с положительной координатой и последовательно выполним следующие построения.

I шаг. Построим полуинтервал с целыми концами, содержащий точку , и запишем число в двоичной системе.

II шаг. Разделим полуинтервал на два полуинтервала длиной . Если точка лежит в левой части, то первой цифрой после запятой в двоичном разложении будем считать , а если в правой части — то первой цифрой после запятой будем считать 1.

III шаг. Разделим содержащий точку полуинтервал длины на два полуинтервала длиной . Аналогично предыдущему, второй цифрой после запятой числа будем считать 0, если точка лежит в левой части, и второй цифрой после запятой числа будем считать 1, если точка лежит в правой части.

Продолжая этот процесс, на -м шаге получим -ю цифру двоичного разложения числа , отвечающего точке .

Тем самым точке можно сопоставить бесконечную двоичную дробь, цифрами которой являются числа 0 и 1.

Вопрос. Как записать в десятичной системе число запись которого в двоичной системе имеет вид ?

3.15. Сопоставление иррациональному числу бесконечной цепной дроби

Во втором уроке было показано, что каждое рациональное число можно записать в виде конечной цепной дроби. Оказывается, что иррациональному числу можно сопоставить бесконечную цепную дробь. Ограничимся примером.

Возьмем число и выделим целую часть. Получим , где . Затем у числа выделим целую часть и получим , где . Так как , то при выделении у числа целой части повторятся предыдущие действия, и в результате получим , где . Повторив эти действия раз, можем записать равенства:

Так как аналогичное представление возможно при каждом натуральном , то числу ставят в соответствие бесконечную цепную дробь, которую записывают в виде . Иногда в этом случае говорят, что число записано в виде бесконечной цепной дроби.

Конечные цепные дроби , , , , и так далее, называются подходящими дробями для получившейся бесконечной цепной дроби.

Вопрос. Как число запишется в виде бесконечной цепной дроби?

Мини-исследование.

1.  Докажите иррациональность числа . Для этого предположите, что можно записать в виде несократимой дроби и покажите, что это предположение приводит к противоречию.

2.  Докажите по аналогичной схеме иррациональность числа .

3.  Докажите иррациональность числа , где – простое положительное число.

4.  Докажите иррациональность числа , где и – простые положительные числа.

5.  Докажите, используя метод математической индукции, иррациональность числа , где , … – простые положительные числа.

Проверь себя. Иррациональные и действительные числа

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

Отрезок какой длины является наибольшей общей мерой для отрезков см и см:

1. см; 2. см;3. см; 4. см?

(Правильный вариант: 4

Выражение равно следующему:

1.  ; 2. ;3. ; 4. .

(Правильный вариант: 1

Выражение равно следующему числу:

1. ; 2. ;3. ; 4. .