XIII Международная олимпиада «Эрудит. Зима-весна 2016»

Математика

Ответы и решения

7 класс

Максимальное количество баллов – 30 баллов

Максимальное количество баллов за каждую задачу можно получить, если задача решена правильно, приведено полное подробное решение там, где требуются пояснения или рассмотрение всех возможных вариантов. Если решения задачи нет, а дан только правильный ответ, то, задача будет оценена в 1 балл.

Задача № 1 (4 балла) По­сколь­ку в пер­вых 12 подъ­ез­дах не мень­ше 465 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 465:12 = 40 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 5 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 8 квар­тир.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 8 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 8 · 12 · 5 = 480 квар­тир, а в пер­вых один­на­дца­ти — 440. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 465 на­хо­дит­ся в две­на­дца­том подъ­ез­де. Она в нем 25-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 8 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на четвёртом этаже. Ответ: на 4 этаже.

Задача № 2 (4 балла) Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 3, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 3. За­ме­тим, что, если число де­лит­ся на 9,то оно де­лит­ся и на 3. Сумма цифр числа 1234561 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 1 = 22. Вы­черк­нув числа 2, 4 , 6 и 1 по­лу­чим, число, сумма цифр ко­то­ро­го равна де­вя­ти. Де­вять де­лит­ся на де­вять.  Ответ: 135.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задача № 3 (6 баллов)

Нам известно, что (a + b)2 +(c + d)2 = 2(a2 + b2 + c2 + d2). Раскроем скобки и преобразуем это выражение: a2 +2 ab + b2 + c2 + 2cd + d2 = 2a2 + 2 b2 + 2c2 +

+ 2d2. 2 ab + 2cd = a2 + b2 + c2 + d2. Сгруппируем и перепишем в виде

(a2 - 2 ab + b2) + (c2 -2cd + d2) = 0.

(a - b)2 + (c + d)2 = 0. Сумма квадратов равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю. (a - b)2 = 0 и (c + d)2 = 0. Отсюда a = b и c = d.

Ответ: a = b и c = d.

Задача № 4 (6 баллов).

Рассмотрим треугольник АВС: по условию АВ = ВС, значит он равнобедренный. < АВС = 160, тогда углы при основании равны

<ВАС = < АСВ = (1800 - 160) / 2 = 820. Угол FCK равен 820, как вертикальный с углом АСВ. < MNF и < FNH смежные , значит < FNH = 1800 – 1000 = 800. В треугольнике NHK: < NFH = 1800 – 800 – 570 = 430. Рассмотрим теперь треугольник FCK: < FKC = 1800 – 430 – 820 = 550 (по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: < FKC = 550.

Задача № 5 (10 баллов) Если Каю необходимо как можно дольше выполнять эту работу, то он должен стараться каждый день выкладывать как можно меньше снежинок. По условию задачи получается, что каждый день он должен уложить на одну снежинку меньше, чем за все предыдущие дни, чтобы получилось в итоге 321 снежинка.

Мальчик должен в последний день использовать (321 – 1)/2 = 160 снежинок. Значит, в предпоследний день у него осталось 161 снежинка, а накануне он уложил (161 – 1) /2 =80.

Найдем зависимость: Последний день - с утра 161 снежинка, вечером 321; перед этим – утром 81, вечером 161; перед этим – утром – 41, к вечеру 81; перед этим с утра – 21, к вечеру 41 и т. д. обобщим наши рассуждения: каждый день к имеющемуся с утра количеству n добавляются (n – 1) снежинок, получается (2n – 1). Но число 6 четно, а значит, его нельзя представить в виде (2n – 1). Значит, Каю нужно в первый день уложить в узор 6 снежинок, тогда во второй 5, в третий – 10 , в четвертый – 20 , в пятый – 40, в шестой – 80, в седьмой - 161.

Итак, самое большое количество дней, которое может затратить Кай на свою работу - 7. Значит, Герда успеет спасти своего брата.

Ответ: 7 дней; Герда успеет спасти Кая.