Решения

Решения.

1.  Из условий следует, что в момент, когда Петя начал заниматься домашней работой, минутная стрелка находилась между 10 и 15 минутами. Будем считать, что Петя начал работу в 6 часов 10 + x минут. А закончил – в 2 часа 30 + y минут. Из условия задачи, . Принимая во внимание то, что часовая стрелка движется ровно в 12 раз медленнее минутной получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем: , . Из чего следует, что Петя закончил работу над домашним заданием примерно в 14 часов 31 минуту и 3 секунды.

2.  Очевидно Мишу интересовали только многозначные числа, поэтому тривиальные решения (12 и 32) не рассматриваем. Рассмотрим квадрат некоторого числа . Число y должно быть нечётным, иначе первая же цифра (справа) числа y2 будет чётной. Рассмотрим первые две цифры числа y2.

Цифра первого разряда числа y2 равна  mod 10. Цифра второго разряда равна . Число – всегда чётное, рассмотрим число . Для или , для , для , для , . Таким образом, цифра второго разряда числа всегда чётная. Следовательно, многозначных чисел, являющихся квадратами других натуральных чисел – не существует.

3.  Пусть даны два числа: , – при этом числа p и q не имеют общих делителей (кроме единицы). Доказываемое утверждение представим следующим образом:

НОД(a + b, НОК(a, b)) = НОД(a, b).

Рассмотрим правую часть утверждения:

НОД(a + b, НОК(a, b)) = НОД(kp + kq), НОК(kp, kq)) = НОД(k(p + q), kpq) =
= k∙НОД(p + q, pq).

Так как, НОД(a, b) = НОД(kp, kq) = k, необходимо доказать, что k∙НОД(p + q, pq) = k, то есть НОД(p + q, pq) = 1.

Докажем от противного: предположим, что НОД(p + q, pq) = i1i2, , , причём , . Так как p и q не имеют общих делителей, , . Тогда:

.

Следовательно . Также для :

.

Следовательно . Следовательно НОД(p + q, pq) = i1i2 = 1. Что и требовалось доказать.

4.  Условие задачи эквивалентно следующему уравнению:

.

Вынесем общие множители, получим:

.

Так как a, b, c – натуральные, ни один из множителей вышеприведённого уравнения не может быть равен 1. Число 1001 раскладывается на произведение 3-х простых чисел: 7, 11 и 13. Одно из решений можно представить следующим образом:

,

Все решения можно получить перестановками правых частей уравнений вышеприведённой системы относительно левых частей данных уравнений.

Таким образом, исходное уравнение имеет 6 решений: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

5.  Рассмотрим сумму множителей числа:

(так как – некоторая перестановка чисел , ).

Так как n – нечётное, то хотя бы одно из слагаемых является чётным (исходим из того, что сумма двух нечётных значений – чётная, сумма чётного и нечётного – нечётная). Следовательно, произведение будет чётным. Что и требовалось доказать.