Финансовая академия при Правительстве РФ

г. Москва

Хаотическая и стохастическая динамика российского фондового рынка с применением к задачам риск-менеджмента

Хорошо известно, что динамика доходностей на финансовых рынках не может быть качественно описана линейными моделями ‑ ARMA и случайного блуждания. Существует два основных нелинейных подхода к анализу доходностей: стохастический и хаотический. Согласно первому, рыночные флуктуации вызваны случайными внеэкономическими шоками. В этом случае прогнозируется условное вероятностное распределение доходностей на основе моделей типа GARCH, стохастической волатильности или долгосрочной памяти (ARFIMA, FIGARCH). Напротив, в рамках представления о хаотическом характере экономики, колебания объясняются внутренними силами, связанными, например, с неполной рациональностью агентов, несовершенством рыночного механизма или особенностями производства (Gomes, J. of Ec. Studies 2006). Данный подход основан на теории нелинейных динамических систем. Отличительной чертой хаотических систем является положительная экспонента Ляпунова. Хотя хаотический подход имеет более глубокое теоретическое обоснование, количественный хаотический анализ экономических рядов крайне затруднителен (Hsieh, JF 1991; Barnett, JMacro 2006).

Мы проанализировали характер динамики российского фондового рынка на основе данных по дневным логарифмическим доходностям основных индексов (РТС, ММВБ, MSCI Russia) и акций компаний различных отраслей (Лукойл, Газпром, Ростелеком и др.) за 2000-2007 гг. С помощью BDS-теста на независимость и одинаковое распределение значений временного ряда (Brock et. al., Econometric Rev. 1996) доказано, что нелинейность безусловно присутствует во всех рядах: доходности и их авторегрессионные остатки – не белый шум. При этом вспомогательный расчёт BDS-статистик по часовым данным за более короткие интервалы времени (6 месяцев) показывает, что и на таких горизонтах наблюдается значимая нелинейность. Т. к. структурные сдвиги в экономике не могут быть частым явлением, случающимся несколько раз в год, это доказывает, что нелинейность внутренне присуща изучаемому фондовому рынку, а не объясняется нестационарностью временных рядов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Хаос низкой размерности в динамике рядов доходностей, абсолютных доходностей и их квадратов, характеризующих волатильность, не выявлен ‑ показатели Ляпунова, вычисленные по методу Nychka et. al. (JRSS, 1992), робастно отрицательны. Это согласуется с большинством выводов для западных рынков. Положительная оценка экспоненты Ляпунова получена лишь для кубов абсолютных доходностей акций Ростелекома. Учитывая, что Shintani, Linton (JEcon, 2004) получили сходные результаты для абсолютных доходностей индекса Доу-Джонс в степени 2,5, необходимы дальнейшие исследования, чтобы проверить, является это случайностью или закономерностью. Экономическая интерпретация хаоса в высоких степенях доходностей пока неясна.

Стохастический анализ доходностей даёт заметно лучшие количественные результаты. Тест Jarque, Bera (Int. Stat. Rev., 1987) отвергает нормальность безусловного распределения доходностей ‑ присутствуют т. н. «тяжёлые хвосты» (лептоэксцесс). ARCH-тест (Engle, Econometrica 1982) позволяет судить о кластеризации волатильности ‑ наличии волатильных периодов и периодов относительного затишья. О том же свидетельствует и автокорреляционная структура ряда: хотя для самих доходностей автокорреляции практически незначимы по тесту Льюнга-Бокса, для их квадратов они значимо положительны вплоть до лагов в несколько недель.

Модель AR-GARCH(1,1) с остатками, распределёнными по закону Стьюдента, позволяет элиминировать нелинейность остатков по модифицированному BDS-тесту Caporale et. al. (JFEcon, 2005) для всех рядов. Отметим, что модели с нормально распределёнными остатками ‑ ARCH с произвольным числом лагов (определяемым по информационному критерию AIC) и GARCH(1,1) – заметно уступают по качеству первой модели. Т. к. распределение Стьюдента имеет тяжёлые хвосты, это означает, что динамика волатильности является не единственной причиной эффекта лептоэксцесса безусловного распределения доходностей. При этом сравнение моделей производилось как с точки зрения информационного критерия BIC, отражающего точность модели за вычетом её размерности, так и с точки зрения качества её спецификации: полноты учёта нелинейности (по BDS-тесту для остатков) и соответствия эмпирического распределения остатков теоретическому.

Результаты оценивания параметров моделей позволили сделать вывод, что российскому рынку свойственен более высокий уровень кластеризации волатильности, чем в среднем на западных рынках, т. е. шоки более устойчивы и продолжительны. Этот вывод согласуется как с представлениями экспертов и аналитиков фондового рынка, так и с количественными результатами работы Égert, Koubaa (William Davidson Institute WP, 2004) по анализу индекса РТС, причём воспроизводит их на более дезагрегированных данных.

Построенные нами стохастические модели динамики не могут использоваться для создания торговых стратегий, т. к. прогнозируется, главным образом, волатильность, а не средняя доходность, авторегрессионная компонента достаточно мала, хотя и статистически значима для некоторых рядов. На рынке деривативов применение подобных моделей возможно, к примеру, при работе с опционными стратегиями типа стрэддл и стрэнгл, однако их полезность весьма ограничена. Так, в периоды расцвета рынка производных инструментов индуцированная волатильность (implied volatility) является обычно более точной мерой. А на молодом российском рынке деривативов, тем более в период финансового кризиса, который подорвал доверие к ним, простые понятные модели (такие как модель Блэка-Шоулза) предпочтительнее, чем современные технологии.

В то же время, стохастические модели могут иметь большую ценность для банков и профессиональных участников фондового рынка при оценке рыночного риска по торговым позициям и портфелям. Они могут быть использованы для расчёта необходимого уровня капитала для банков (в соответствии с подходом внутрибанковских моделей соглашения Базель-II), либо для определения лимитов в деятельности брокеров и дилеров. На примере акций Лукойла и Норильского никеля мы продемонстрировали, что пренебрежение нелинейной динамикой приводит к занижению 10-дневной стоимости под риском (VaR) до полутора раз, особенно в волатильные периоды, когда качественная оценка риска наиболее необходима. Даже для 1-дневного VaR недооценка риска линейными моделями достаточно сильна.

Точность модели AR-GARCH(1,1) при прогнозировании риска в сравнении с традиционными методами, не учитывающими нелинейность, проверяется при помощи тестов Christoffersen (Symposium on Forecasting and Empirical Methods in Macro. and F., 1998) и Berkowitz (JBES, 2001). Первый из них является тестом на качество интервального прогноза и исследует среднюю долю попаданий реального значения доходности в предсказанный доверительный интервал, а также случайность (равномерность во времени) «пробоев», т. е. неверных прогнозов. Совместное выполнение этих двух критериев означает истинность прогнозируемого интервала в каждый момент времени, а не только в среднем. Второй тест, основанный на методе обратного преобразования, проверяет истинность прогноза функции распределения доходностей в целом, не ограничиваясь отдельными доверительными интервалами. Он также позволяет выявить основные недостатки прогнозного метода, такие как систематическая недооценка риска или недостаточный учёт тяжёлых хвостов. Оба теста показывают, что модель AR-GARCH(1,1) значительно превосходит линейные модели по прогностической ценности в задачах риск-менеджмента, хотя и её прогнозы имеют определённые недостатки.

В целом в работе было показано, что российский фондовый рынок как нелинейная динамическая система имеет некоторые количественные особенности от рынков развитых стран, но на качественном уровне обладает теми же свойствами, что и они. Это делает современные продвинутые подходы к риск-менеджменту, такие как прогнозирование стоимости под риском для длинных и коротких открытых позиций на основе моделей типа GARCH, крайне перспективными и на отечественном фондовом рынке. Это было показано как с теоретической точки зрения путём изучения хаотических и стохастических свойств динамики российского рынка, так и на более практических примерах из области управления рисками.