Масштаб и объем

Масштаб и объем

Знакомство с понятием размерности стоит начать с «клетчатого» варианта, в котором любое соображение, можно проверить прямым подсчетом. Начать можно со следующей известной задачи, которую часто решают неправильно.

Задача 1. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска? (На каждую стирку уходит одно и то же количество мыла).

Комментарий для учителя. На этот вопрос часто дают ответ «еще на 7 стирок». Убедиться в его ошибочности можно, задумавшись над следующим вопросом. Если всего куска хватает на 14 стирок, а маленького – на 7, то, наверное, из двух маленьких кусков можно сложить один большой; как же это сделать?

Если представить себе трехмерную ситуацию не получается, полезно сначала разобраться со случаем плоского и квадратного мыла – там уже нетрудно увидеть, что большой кусок состоит из четырех маленьких.

На самом деле, как мы увидим в следующих задачах, большой кусок мыла состоит из восьми маленьких; соответственно, на первые семь стирок ушло 7 маленьких кусочков, значит и одного оставшегося маленького куска хватит на одну стирку.

Если занятие начинается с этой задачи, то совершенно не обязательно сразу подробно ее разбирать. Надо только объяснить, что с наивным рассуждением имеется какая-то проблема.

Задания для индивидуальной работы по карточкам с обязательным последующим фронтальным обсуждением.

1. Белочка решила проверить свой запас орехов. Когда она считала их десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков, а когда начала считать дюжинами, то осталось восемь орехов. Сколько орехов было у белочки, если известно, что их больше 300, но меньше 350? Ответ: 308 орехов.

2. При распаде 1г белка или 1г углеводов освобождается 4,1 ккал, а при распаде жиров - 9,3 ккал. Зная состав продукта, рассчитайте его энергоемкость или калорийность.

Расчёты занесите в таблицу.

Продукты	Содержание веществ в 100г продукта (без учета минеральных солей)	Энергоёмкость (калорийность)
Вода	Белки	Жиры	Угле- воды	белков	жиров	углеводов	Итого ккал
Хлеб ржаной	47	7	1	40	74,1=28,7	19,3=9,3	404,1=164	202
Хлеб белый	44	8	1	42
Кефир	88	3	3,2	4,5
Капуста	90	1,8	0,0	5,4
Сосиски	60	12,3	25	0,0
Яйцо куриное	74	12,7	11,5	0,7
Сахар	0,14	0,0	0,0	99,8
Шоколадные конфеты	7,8	5,2	32,0	54,2
Рис	0,4	6,7	0,3	82,5
Макароны	2,9	10,4	1,1	71,5
Крупа гречневая	5,8	12,6	2,6	68

3. Практическая работа с таблицей простых чисел

1. Эратосфен родился примерно в 276г. до н. э. и умер примерно в 194г. до н. э.

Какие года, выраженные простыми числами, приходятся на период жизни Эратосфена?

Ответ:_____________________________________________________________________________________________________________________

2. Из 168 простых чисел первой тысячи 16 чисел палиндромических - каждое равно обращенному. Например:11,101,131... Найдите их.

Ответ:_____________________________________________________________________________________________________________________________

3. Посмотрев внимательно таблицу простых чисел, можно увидеть стайки симметричных пар - «перевертышей». Например:13-31,107-701. Найдите остальные пары.

Ответ:_____________________________________________________________________________________________________________________________

4. В таблице имеются стайки «жар-птиц» - простых чисел с «пером» 13 в хвостике (оканчивающихся на 13):13,113,313... Найдите стайки простых чисел с «пером» 31 в хвостике. Какие еще можно найти стайки?

Ответ:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. В первой тысяче чисел в таблице простых чисел есть 5 «квартетов» чисел, составленных из подряд идущих простых чисел, последние цифры которых образуют последовательность чисел 1,3,7,9. Например:(11,13,17,19) Найдите остальные «квартеты»?

Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Трехзначные простые числа могут также создавать магические квадраты с одинаковыми суммами по строкам, столбцам и одной диагонали.

1	1	3
1	3	1
3	1	1

Например

Найдите еще 2 таких магических квадрата, составленных из простых чисел.

7. Среди простых чисел встречаются так называемые "близнецы" или пары простых чисел, разница между которыми составляет число 2 (например, 11 и 13). "Близнецы" появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. Еще Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество "близнецов", пока не существует.

Используя таблицу простых чисел, найдите пары чисел – близнецов.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таблица простых чисел

4.

Азбука Морзе

А	· ­–	И	··	Р	· – ·	Ш	– – – –
Б	– · · ·	Й	· – – –	С	· · ·	Щ	– – · –
В	· – –	К	– · –	Т	–	Ъ	· – – · – ·
Г	– – ·	Л	· – · ·	У	· · –	Ы	– · – –
Д	– · ·	М	– –	Ф	· · – ·	Ь	– · · –
Е	·	Н	– ·	Х	· · · ·	Э	· · – · ·
Ж	· · · –	О	– – –	Ц	– · – ·	Ю	· · – –
З	– – · ·	П	· – – ·	Ч	– – – ·	Я	· – · –

Расшифруйте пословицы и поговорки, используя кодовую таблицу азбуки Морзе:

1. · – – · · · – · · · – – – – · – – – – · – – – – · – · · – – – · · ·

· – – · · · · – – · – · · · ­– – · – – – · · · – · – · – – · · – · · · · · · · –

– · · · · – · · –

 

2. · – · · ­– – · · · – – – – · ­– · · · – – ·· · · – – · · · · ­– – – ·· ,

· ­– · – · · · – · – · · – · · · · – · – – – · · – · – – – · – – – – – –

5. Квадрат Полибия.

	1	2	3	4	5	6
1	А	Б	В	Г	Д	Е
2	Ё	Ж	З	И	Й	К
3	Л	М	Н	О	П	Р
4	С	Т	У	Ф	Х	Ц
5	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь
6	Э	Ю	Я

В Древней Греции (II в. до н. э.) был создан шифр, который известен, как квадрат Полибия. В каждую клетку такой таблицы записывалась одна буква. В результате каждой букве соответствовала пара чисел, и шифрование сводилось к замене буквы парой цифр (первая цифра указывает номер строки, вторая – номер столбца).

Расшифруйте поговорку и слова:

12 16 23 33 11 43 26 26 11 26 12 16 23 36 43 26;

________________________________________

24 33 44 34 36 32 11 46 24 63, 62 33 42 41 11

6. Постройте ромб, серединами сторон которого являются точки

Ответ:

Задания для устной работы

1.  Можно ли квадрат без угловой клетки (см. рисунок разрезать на три равные части?

Путь к решению. Надо задаться вопросом о площади части. Вычислив, что площадь целая – равна пяти площадям клеток, естественно попробовать разрезать по границам клеток на 3 пятиклеточные фигуры.

Ответ: Да, см. рисунок

2.Найдите хоты бы одно решение уравнения в натуральных числах.

Решение. Вспомним, что 365 – число дней в году, 28,30 и 31 число дней в месяце. 28 дней – это только февраль, 30 дней – это апрель, июнь, сентябрь и ноябрь, 31 день – в остальных семи месяцах. Значит, подходит Есть еще решение но это уже надо считать.

3.Сократимой или несократимой дробью является значение выражения ?

4. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке. Ответ 20

5. Найдите площадь треугольника. Ответ: 5

6. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все двугранные углы прямые) Ответ:38

7.  Использовав ровно пять раз цифру 3, знаки действий и скобки, представьте любое целое число от 0 до 11. Подсказка ,

Ответ:

3+

и т. д.

8. Впишите в пустые клетки таблицы недостающие числа

7	10	13
22		30
4	9

Ответ:

7	10	13
22	26	30
4	9	14

9. Сравните значения выражений 1020 и 10110

Задачи основного блока занятия.

Задача 2. Квадрат со стороной а) 3 см; б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратиков получилось? Куб со стороной в) 3 см; г) 1 м разрезали на кубики со стороной 1 см. Сколько кубиков получилось?

Комментарий для учителя. Посчитать что-нибудь непосредственно на объемной картинке всегда непросто. Обычно приходится так или иначе сводить все к плоской задаче. Один из способов сделать это – рассмотреть картинку послойно («по этажам»).

Решение.

в) Куб размером 3×3×3 состоит из трех одинаковых слоев. Каждый из этих слоев представляет собой квадрат размером 3×3, который, как мы уже выяснили в предыдущей задаче, состоит из 9 клеток. Значит всего кубиков .

г) Аналогичным образом находим, что куб со стороной 1 м состоит из 1003=1000000 сантиметровых кубиков (собственно, это рассуждение и объясняет, почему в одном кубическом метре не сто кубических сантиметров, а целый миллион).

Вообще, разрезая метровый, например, куб на достаточно маленькие кубики, можно сложить сколь угодно высокую башню.

Задача 3. Грузчик на складе может поднять упаковку размером 3×3×3 литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9×9×9 пакетов?

Решение.

Даже если просто подсчитать вес большой упаковки пакетов, то есть примерно 729 кг, станет ясно, что втроем ее не поднять.

В любом случае, стоит разобраться, из скольких же маленьких упаковок состоит большая. Но нетрудно заметить, что эту задачу мы фактически уже решали выше (с кубиками вместо пакетов молока), и ответ – большая упаковка тяжелее маленькой в 27 раз.

Задача 4.Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1 м. Сколько весит такой бассейн с водой?

Решение.

Вспомним, что 1 литр, то есть 1 дм3 воды весит 1 кг. Поэтому вес бассейна с водой в кг равен его объему в. Соответственно, объем нашего бассейна - дм3, а вес – 300 кг.

Задача 5. Саша и Юра построили по башне из кубиков. Обе башни имеют квадратное основание и составлены из одинакового числа кубиков.

а) Сторона основания Юриной башни в четыре раза больше, чем Сашиной. Во сколько раз Сашина башня выше?

б) Сашина башня в четыре раза выше, чем Юрина. Во сколько раз у Юриной башни больше сторона основания?

Ответ: а) в 16 раз; б) в 2 раза.

Комментарий для учителя. Центральный вопрос занятия – как изменяются объемы и площади фигур произвольной формы при изменении линейных размеров в раз (в самом простом виде этот вопрос уже встречался нам в задаче 3).

Задача 6. Саша сложил картинку из квадратиков со стороной 2 см (см. рис), а Юра – аналогичную картинку из квадратиков со стороной 4 см. Во сколько раз площадь Сашиной картинки меньше площади Юриной картинки?

Комментарий для учителя. Стоит также выяснить, какой будет ответ, если изменять размеры не в 2 раза, а в раз. Отметим, что он совершенно не зависит от формы фигуры. Отсюда можно сделать вывод, что тот же ответ имеет и следующая задача.

Задача 7. Как изменится масса слона, если увеличить его (по все размерам) в 2 раза? (Считать, что слон имеет форму параллелепипеда, конечно, нельзя) Как изменится площадь слона на фотографии?

Ответ: в 8 раз; в 4 раза.

Решение.

Чтобы связать задачу с предыдущей, можно сначала представить себе, что слон «пиксельный» - сложен из небольших кубиков. Теперь, когда кубики становятся совсем маленькими, пиксельный слон становится неотличим от настоящего…

Никакого формального доказательства в этой задаче, конечно, не требуется, достаточно понять, каков ответ.

На самом деле, с ростом размера слона его объем – а значит, и масса – будет расти как куб линейных размеров. А площадь поперечного сечения ноги – а значит, и прочность костей – только как квадрат линейных размеров. То есть при увеличении размера масса слона будет расти существенно быстрее прочности ног, и увеличенный слон не сможет стоять на ногах.

Тот же эффект можно увидеть и на простой дискретной модели: если складывать из кубиков большой куб, то нагрузка на отдельный кубик будет расти пропорционально размерам большого куба – просто из-за того, что будет расти башенка кубиков над ним. Поэтому в какой-то момент куб рухнет под собственным весом.

Если известно, как меняются площади и объемы при масштабировании, то нетрудно понять, как (качественно) должны выглядеть разные формулы для площадей и объемов.

Задача 8. а) Обозначим площадь круга радиуса 1 через . Чему равна площадь круга радиуса ?

б) Обозначим объем шара радиуса 1через . Чему равен объем шара радиуса ?

Ответ: а) ; б) .

Вычисление констант и - вопрос существенно более тонкий. Можно показать, что , .

Задачи для самостоятельного изучения.

1.  На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую – один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одого и того же материала.)

Типичный ответ на такой вопрос – это, конечно, «никакая, потому что 3+5=8. Такой ответ можно опровергнуть совершенно наглядным геометрическим рассуждением: заметим, что два маленьких шарика, если их поставить рядом, влезут внутрь большого; значит, их суммарный объем меньше.

2.На рынке продается два вида арбузов одинакового диаметра. Первый – по 100 рублей, зато с очень тонкой коркой, а второй по 70 рублей, но 20% его радиуса занимает корка (которую придется выкинуть). Какие арбузы выгоднее покупать?

3.Длина экватора глобуса равна 1 м. Каков масштаб глобуса? Какую площадь на нем имеет Россия? ( Длина земного экватора равна 40000 км; площадь России – примерно 17000000 км2.)