Материалы к практикуму по физике

Практикум 12. Распределения Максвелла, Больцмана.

Распределение молекул по скоростям Максвелла

Пусть - вероятность, что случайная величина лежит в интервале , тогда:

, (1)

, (2)

Используя наиболее вероятную скорость , (1) и (2) можно представить

, (3)

, (4)

где , , (5)

Рис.12.1. Вероятность в зависимости от

Пример 12.1. Наивероятнейшая скорость молекул некоторого газа равна 1820 м/с. Какой это газ, если температура газа 400 К?

Дано

	Решение Какой газ, можно определить по значению молярной массы газа, если нам повезет! Согласно определению (5) скорость
м/с К

связывает температуру и молярную массу, тогда ее квадрат есть и . Подставляем численные значения, получаем кг/моль, следовательно, определяемый нами газ – молекулярный водород.

Ответ: кг/моль, газ .

Пример 12.2. Определите какая часть молекул азота при температуре 423 К обладает скоростями от 300 м/с до 800 м/с?

Дано

	Решение Найдем, согласно (5), наивероятную скорость: м/с, тогда границы интегрирования в(4) будут равны , .
м/с, м/с, кг/моль К

Грубая оценка доли молекул по рисунку 12.1 равна . Уточним оценку прямым интегрированием по методу прямоугольников

(6),

где , .

(7)

При , , при , , округлим до двух значащих цифр, таким образом, более точная оценка составляет .

Ответ:

Распределение молекул по энергиям в интервале

(8)

Рис.12.2. Вероятность в зависимости от , где

Пример 12.3. Энергия ионизации атомов водорода составляет эВ. Найти, при какой температуре 10% всех атомов водорода имеет энергию поступательного движения атомов, превышающих энергию ионизации. При такой температуре водород становится атомарным? 1эВ=Дж.

Решение

В безразмерных единицах распределение молекул по энергиям (8) принимает следующий простой вид

, а вероятность или доля частиц имеющих кинетическую энергию большую некоторой энергии есть

(9)

график которой приведен на рис.12.2. Из этого рисунка определим при значение энергии есть , более точный расчет (9) дает значение , тогда температура атомарного газа равна К.

Проверка: в решении не использовалась информация о газе, что настораживает, поэтому решим задачу стандартным способом, исходя из распределения молекул по скоростям. Из рис.12.1 определим граничную скорость частиц при , чье значение равно , более точный расчет дает , тогда , где наиболее вероятная скорость задана (5), тогда . Приравнивая , получаем К. И в этом случае исчезла информации о газе, следовательно, такой расчет годится для любых идеальных газов.

Ответ: К.

Барометрическая формула

, ,

Пример 12.4. Кирпичная труба высотой м выпускает дым при температуре С. Определить перепад давления на входе в трубу, обеспечивающий тягу. Температура наружного воздуха С, давление мм рт. ст.

Решение

Считаем, что температура выходных газов в трубе постоянная, тогда согласно распределению Больцмана давление газов изменяется с высотой так

(8) (9)

где кг/моль, R=8.31 Дж/мольК, м/с2. как на высоте давление внутри трубы, согласно (8), равно

(10)

а давление наружного воздуха на той же высоте (на срезе трубы) равно с одной стороны , т. е. , с другой стороны, согласно (8)

(11)

Тогда

(12)

Искомый перепад давлений на нулевом уровне определим из (5)

или

(13)

Рассчитаем по (13) разность давлений для высот м и для температуры К в трубе.

Па

Ответ: Па

Пример 12.5. Барометр в кабине самолета все время показывает одинаковое давление кПа, благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако, температура воздуха изменилась на К. Какую ошибку в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление кПа.

Решение

В ночном полете или в условиях сплошной облачности летчик определяет положение самолета по приборам, важнейшим из которых является высотомер-барометр (на фотографии приведен фрагмент приборной панели Ил-18). Используем барометрическую формулу (8) для двух моментов времени и . По условию задачи показания барометра не изменились , тогда , логарифмируя и сокращая, получаем . Искомую ошибку перепада высот найдем и . Из барометрической формулы найдем , т. е. , и . Итак, =6.5 м

Ответ: м

Самостоятельная аудиторная работа.

А12.1. Температура водорода 550 К. Определите отношение числа молекул этого газа, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул, компоненты скоростей которых лежат в интервале от 1500 до 1510 м/с.

А12.2.Температура кислорода 500 К. Определите долю молекул этого газа, чьи модули скоростей больше наиболее вероятной скорости (использовать рис.12.1).

А12.3. Энергия ионизации атомов калия равна 4.34 эВ. Найти при какой температуре 10% всех атомов калия имеют кинетическую энергию поступательного движения, превышающую энергию, необходимую для ионизации отдельных атомов калия.

А12.4. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изменение концентрации взвешенных частиц гуммигута с изменением высоты и применяя барометрическую формулу, экспериментально нашел значение числа Авогадро . В одном из опытов Перрен нашел, что при расстоянии между двумя слоями 100 мкм число взвешенных частиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем в другом. Температура жидкости с гуммугутом равна 293 К, частицы гуммигута имеют диаметр 0.3 мкм взвешены в жидкости, плотность которой на 200 кг/м3 меньше плотности частиц. Найти по этим данным число Авогадро.

А12.5. Определить массу воздуха в цилиндре с основанием 1 м2 и высотой м, км, км. Найти отношение , где - масса воздуха на нулевой высоте. Считать, что воздух находится при нормальных условиях (кг, кг, кг; , , ).

А12.6. В атмосфере находятся частицы пыли, имеющие массу кг, и объем м3. Найти уменьшение их концентрации на высотах м и м. Считать, что воздух находится при нормальных условиях (, ).

Задание на дом:

В12.1. Определите температуру молекулярного водорода при котором отношение числа молекул этого газа, скорости которых лежат в интервале от 3000 м/с до 3010 м/с, к числу молекул, скорости которых лежат в интервале от 1500 м/с до 1510 м/с равно единице.

В12.2. Определить долю молекул, энергия которых заключена в пределах от 0 до .

В12.3. Водород находится при нормальных условиях и занимает объем 1 см3. Определить число молекул в этом объеме, обладающих скоростями, меньшими 1м/с.

В12.4. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу г. Во сколько раз уменьшится их концентрация при увеличении высоты на 10 м? Температура воздуха 300 К.

В12.5. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на его поверхности? Считать температуру воздуха равной 290 К и не изменяющейся с высотой.

Ответы:

А12.1. . А12.2. кДж. А12.3 кК. А12.4. моль-1. А12.5. кг, кг, кг. А12.6. , .

В12.1. К. В12.2. . В12.3. . В12.4 . В12.5. м.

Литература

1.  , Воробьев по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.

2.  Савельев общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1986. – 432 с.

3.  Сивухин курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1983. -688 с.