Практическое занятие по теме «Пределы функций»

Практическое занятие по теме «Пределы функций»

1.  Найти предел:

1) 

2) 

3)   

2.  Найти предел неопределенности 0/0

4) 

5) 

6) 

3.  Найти предел неопределенности ¥/¥

7) 

8) 

4.  1-й замечательный предел

9) 

10) 

5.  2-й замечательный предел

11) 

12) 

Практическое занятие по теме «Дифференциальное исчисление»

1.  Производная суммы

2.  Производная произведения

3.  Производная частного

4.  Производная сложной функции

5.  Производная тригонометрической функции

6.  Производная обратной тригонометрической функции

7.  Производная высших порядков

8.  Дифференциал

Практическое занятие по теме «Интегральное исчисление»

Метод непосредственного интегрирования

1.  ;

Метод подстановки

Интегрирование по частям

Обозначим:

Определенный интеграл

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , , .

Практическое занятие по теме

«Основные понятия теории вероятности»

1.  Определение вероятности.

В урне 5 красных, 3 синих, 7 желтых и 10 белых шаров.

Найти вероятность, что случайно вытащенный из урны шар является красным.

Решение: n=25, m=5 – событие появление красного шара.

2.  Определение условной вероятности.

В урне 15 шаров – 5 белых и 10 черных.

Один шар из урны вынут, он оказался белым.

После этого шар вернули в урну и все шары тщательно перемешали.

Найти вероятность того, что во второй раз появится белый шар.

Решение: n=15, m=5

событие А ={ первый шар белый };

событие В ={ второй шар белый };

Найти вероятность того, что во второй раз появится белый шар, при условии, что шар в урну не возвращается.

3.  Сложение вероятностей.

В урне 12 белых, 16черных, 21 синих и 26 красных шаров.

Вынули один шар.

Найти вероятность того, что вынутый шар : белый, черный, синий, красный;

Черный или синий;

Решение: n=12+16+21+26=75.

Вероятность, что вынутый шар:

белый Р(Б)= .

черный Р(Ч)= .

синий Р(С)= .

красный Р(К)= .

Применяя теорему сложения получим: черный или синий Р(Ч+С)= +=

4.  Умножение независимых событий.

В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых.

Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара, если вынутый шар возвращается обратно в сосуд;

Решение: событие А={появление цветного шара при первом вынимании};

событие В={появление цветного шара при втором вынимании};

События А и В независимые.

Р(А)= Р(В)= .

Р(А×В)=Р(А)×Р(В)= ×=.

5.  Умножение зависимых событий.

В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых.

Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара, если вынутый шар в сосуд не возвращается.

Решение:

событие А={появление цветного шара при первом вынимании}; Р(А)= .

событие В={появление цветного шара при втором вынимании}; Р(В/А)= .

События А и В зависимые.

Р(А×В/А)=Р(А)×Р(В/А)= ×=.

6.  Формула полной вероятности.

Имеются две одинаковые урны:

в первой урне 2 белых и 1 черный шар;

во второй – 3 белых и 1 черный шар;

Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар.

Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три события:

Событие Н1={ выбор первой урны}.

Событие Н2 ={ выбор второй урны}.

Событие А ={появление белого шара}.

Т. к. события, по условию задачи, равновозможны, то

. Проверка:

По формуле полной вероятности

7.  Задание на перестановки.

Подсчитайте значение равное 11! 11!= 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11=39 916 800

8.  Задание на размещения.

Студенты на занятиях изучают 9 предметов. Во вторник у них 5 уроков, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

Решение:

9.  Задание на сочетания.

В клетке содержится 10 мышей. Необходимо отобрать 4 мыши для проведения экспериментов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

10.  Определить вид случайного события

1)  количество студентов на лекции.

11.  Задача.

Случайная величина Х принимает значения: хi; 1; 2; 3

Даны вероятности значений случайной величины Х: pi; 0,2; 0,4; 0,4

Построить ряд распределения случайной величины Х.

Построить многоугольник распределения.

Определить математическое ожидание.

Определить дисперсию.

Определить среднее квадратичное отклонение

Решение: Закон распределения случайной величины Х задан следующей таблицей:

хi	1	2	3
pi	0,2	0,4	0,4
(Х-m)2	1,44	0,04	0,64

Математическое ожидание равно :

М(Х)=m=1×0,2+2×0,4+3×0,4=2,2.

Значения квадратов разностей (Х-m)2: (1-2,2)2=1,44

(2-2,2)2=0,04

(3-2,2)2=0,64

Вычисляем дисперсию :

D(Х)= 1,44×0,2+0,04×0,4+0,64×0,4=0,288+0,016+0,256=0,56.

Либо дисперсию находим по формуле D(Х)= М(Х2)-( М(Х))2=5,4-2,22=5,4-4,84=0,56.

М(Х2)=m=12×0,2+22×0,4+32×0,4=0,2+1,6+3,6=5,4.

По формуле вычисляем среднее квадратичное отклонение

Ответ: 2,2±0,7.

Практическое занятие по теме

«Основные понятия математической статистики»

I.  В результате отдельных испытаний были получены данные:

1,5,4,1,5,4,1,5,4,1,5,4,1,4,1,4,7,1,4,1,4,7,1,4,1,7,4,1,5,7,1,5,1,7,5,1,5,7,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5.

Составить простое статистическое распределение выборки.

Построить полигон частот.

Построить полигон относительных частот.

Найти выборочную среднюю.

Найти дисперсию.

Найти среднеквадратичное отклонение.

Составим простое статистическое распределение выборки.

хi	1	4	5	7
Частота встречаемости mi	20	10	14	6
Относительная частота р*=m/n	20/50=0,4	10/50=0,2	14/50=0,28	6/50=0,12
	6	0,31	2,43	12,67

Составим полигон частот.

Отложим на оси абсцисс варианты хi.

На оси ординат – соответствующие им частоты mi.

Соединив полученные точки отрезками, получим искомый полигон частот.

Составим полигон относительных частот.

Отложим на оси абсцисс варианты хi , а на оси ординат – соответствующие относительные частоты р*=m/n.

Соединив точки (хi, рi) отрезками прямых, получим полигон относительных частот.

Найдем выборочную среднюю:

Проверка: 0,4+0,2+0,28+0,12=1

Решение: Объем выборки n=20+10+14+6=50

Найдем дисперсию:

Либо дисперсию находим по формуле:

Найдем среднеквадратичное отклонение:

Ответ: 3,44±2,1

II.  . Построить гистограмму по данному распределению выборки:

Решение: - объем выборки. h=2 – длина интервала

Интервал хi	0-2	2-4	4-6
Частота mi	20	30	50
Относительная частота P*=mi/n	20/100=0,2	30/100=0,3	50/100=0,5
Плотность относительных частот	0,2/2=0,1	0,3/2=0,15	0,5/2=0,25

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы.

Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.

Например, над интервалом (0,2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии 0,1; аналогично строят остальные отрезки.

Практическое занятие по теме

«Применение математических методов в профессиональной

деятельности среднего медицинского персонала»

Определите процентную концентрацию раствора 1:1000.

Определите концентрацию раствора в соотношении, если процентная концентрация составила 0,4%.

Сколько времени потребуется для ЭКГ-обследования 15 пациентов, если для на 4 пациентов было затрачено 1 час 20 мин. (80 минут).

Четверо пациентов получают в сутки 6 г бициллина-5. Сколько потребуется препарата в сутки, если поступают еще 2 больных с аналогичным диагнозом.

К 500 г раствора, содержащего 20% соли, добавили 500 г раствора, содержащего 30% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

На сколько изменилась масса крови взрослого человека, если известно, что при весе 76 кг он похудел на 11кг?

Кровь у взрослого человека составляет 6- 8% от массы тела.

Ответ: на 0,77кг

Расчет процентной концентрации растворов

1)  Добавлено 50 мл к 100 гр 30% раствора. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

2)  Сколько граммов соли и какой объем воды необходимо для приготовления 80 гр 10% раствора?

Жизненная емкость легких

1)  Рассчитайте долженствующую жизненную емкость легких ребенка 14 лет, если:

-  дыхательный объем составляет ДО=400 мл (это объем воздуха, который проходит через легкие при спокойном вдохе и выдохе. У взрослого человека он равен 500 мл);

-  резервный объем вдоха равен =1,4 л (максимальный объем воздуха, который способен вдохнуть человек после спокойного вдоха. У взрослого человека он равен 1,8-2,0 л);

-  резервный объем выдоха – =900 мл (дополнительный объем воздуха, который способен выдохнуть человек после спокойного выдоха. У взрослого человека он равен 1,2-1,4 л).

ЖЕЛ= ДО++

ЖЕЛ= 400+1400+900=2700мл – соответствует возрастной норме.

Показатели сердечной деятельности

2)  Минутный объем кровотока в покое составил МОК =3900 мл.

Рассчитайте минутный объем кровотока при физической нагрузке и оцените,

как изменится данный показатель сердечной деятельности, если ударный объем кровотока возрос до УО =150 мл, а частота сокращений сердца – ЧСС =90 в минуту.

МО=УО×ЧСС, Þ 150×90=13500 мл.

13500-3900=9600 мл.

3)  Рассчитайте ударный объем кровотока, если минутный объем кровотока составляет 3900 мл, а частота сокращений сердца – 78 ударов в минуту.

1)  Рассчитайте долженствующую массу тела ребенка в 7 месяцев, если масса тела при рождении составляет 3000 г.

Масса тела ребенка рассчитывается по формуле:

Масса тела = Масса тела при рождении (г) +800×N=3000 г+800×7=8600 г.

где, N – число месяцев.

2)  Рассчитайте норму прибавки массы тела ребенку за десятый месяц жизни:

где Х – ожидаемая ежемесячная прибавка массы тела;

П – число месяцев.

3)  Рассчитайте долженствующую окружность головы ребенка в 8 месяцев, если в 6 месяцев она составляла 43 см.

43+(0,5 ¸ 0,7) ×2=43+(1¸1,4)=44¸44,4.

4)  Рассчитайте долженствующую окружность груди ребенка в 4 и 8 месяцев, если в 6 месяцев она составляла 45 см.

45 - (1,5¸-2) ×2=45-(3¸4)=42¸41 см – в 4 месяца.

45 + (1,5¸-2) ×2=45+(3¸4)=48¸49 см – в 8 месяцев.

5)  Рассчитайте количество молока, необходимое на сутки, по формуле Финкельштейна для доношенного 7 дневного ребенка массой 3200 г.

Определите объем молока для каждого кормления (при 7-разовом режиме).

МП=n×80=7×80=560 мл молока на сутки.

560 мл:7=80 мл молока на кормление.

где МП – количество молока в сутки;

n – день жизни ребенка.