Естественный способ

Естественный способ.

Этим методом можно пользоваться, если заранее известна траектория движения частицы. В подобных случаях за координатную ось удобно принять кривую самой траектории.

Пусть движение совершается вдоль кривой L (рис.1.7). Выберем точку отсчета О и положительное направление оси. Положение частицы на кривой однозначно определится длиной части кривой, соединяющей частицу с точкой отсчета О, которая называется дуговой координатой частицы. И так, закон движения в естественном методе задается в виде

. (1.19)

Рис. 1.8.

Изменение положения частицы за время определяется приращением дуговой координаты, которая есть путь, пройденный частицей:

В естественном методе скорость - это первая производная дуговой координаты по времени:

(1.20)

Введем связанный с частицей единичный вектор , который будет направлен по касательной в любой точке траектории. Очевидно, что меняет свое направление и зависит от положения точки на кривой, т. е. . Учитывая (1.19), видим, что сложная функция от времени .

Вектор скорости выразим с помощью введенного касательного вектора следующим образом

(1.21)

Воспользовавшись определением ускорения (1.8) и (1.21) получим

(1.22)

Учитывая, что - сложная функция от времени, преобразуем последний член полученного уравнения

(1.22')

рис. 1.9а.

Выразим величину через геометрические характеристики кривой. Предположим, в момент времени t частица находится в точке А кривой, которой соответствует единичный вектор . Пройдя путь за промежуток времени частица в момент времени займет положение В (рис. 1.9а).

Предположим, что рассматриваемая кривая плоская, т. е. все ее точки лежат в одной плоскости. Проведем нормали от точек А и В (перпендикуляры к касательным в плоскости кривой), точку пересечения которых обозначим через . В дифференциальной геометрии показывается,

рис.1.9б.

что элементарный отрезок любой непрерывной кривой можно представить как дугу окружности определенного радиуса. Так что, рассматриваемая часть кривой АВ есть дуга окружности с центром в точке и радиусом (рис. 1.9а). Точка называется центром кривизны этой части кривой, а – радиусом кривизны. Фактически, любую кривую можно представить как совокупность дуг с разными центрами и радиусами кривизны.

Построив векторный треугольник AMN, показывающий приращение вектора за время (рис. 1.9б), легко заметить, что он подобен треугольнику О1АВ. Исходя из этого, для получим:

.

За время приращение перпендикулярно касательному вектору в точке А (рис. 1.8б), т. е. направлено по нормали в этой точке к центру кривизны. Введя единичный вектор , направленный по нормали, получим

. (1.23)

С учетом полученного результата и (1.22), выражение ускорения (1.22') примет следующий вид

(1.24)

И так, ускорение в произвольной точке кривой представилось в виде суммы двух взаимно-перпендикулярных векторов (рис.1.9). Подобное представление вектора ускорения имеет большие преимущества. Ускорение – это величина, показывающая быстроту изменения скорости во времени. Скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Первый член в правой части формулы ускорения (1.24) называется тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, характеризирует быстроту изменения величины скорости и равно первой производной модуля скорости по времени:

рис. 1.10.

. (1.25)

Второе слагаемое называется нормальным ускорением:

. (1.26)

Нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости частицы и обратно пропорционально радиусу кривизны кривой в данной точке. Оно перпендикулярно вектору скорости, направлено к центру кривизны и характеризирует быстроту изменения направления скорости