Варьирование признаков. Показатели вариабельности

ВАРЬИРОВАНИЕ ПРИЗНАКОВ. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ

Значения признаков, составляющих совокупность, имеют различные величины. Различия иногда очень велики, иногда почти незаметны, однако имеются всегда, поскольку полной однородности внутри групп не бывает. Эта неоднородность вариант в совокупности называется разнообразием, варьированием или изменчивостью.

В биологии и, в частности, в животноводстве, изменчивость признаков выражена очень сильно и имеет большое научное значение. Коровы в одном стаде различаются величиной удоев за лактацию, живой массой, процентом жира в молоке; овцы - настригами шерсти, длиной и тониной шерстного волокна, живой массой; куры-несушки - количеством яиц, снесенных в течение года, их массой и другими параметрами качества. Вариабельность признаков у животных является основой селекционного процесса, отбора и воспроизводства наиболее продуктивных особей. Вместе с тем, зооинженер постоянно стремится к наибольшей однородности стада животных, к снижению вариабельности признаков, поскольку однородное по продуктивности стадо может использоваться наиболее эффективно.

Следовательно, отношение зооинженера к вариабельности признаков у животных неоднозначно, вариабельность в разных случаях может рассматриваться или как положительное, или как негативное явление. Но неизменно одно положение - вариабельность во всех случаях зоотехнической работы должна учитываться и измеряться. Важно знать и уметь рассчитывать показатели вариабельности признаков у животных.

Существенно также и то, что показатели вариабельности используются не только для непосредственного измерения вариабельности, но широко применяются и для конструирования многих других статистических параметров. Биологическая или вариационная статистика является наукой, предназначенной для математических исследований биологических совокупностей на основе вариабельности составляющих их объектов.

Ниже в этом разделе рассматриваются основные показатели вариабельности признаков в биологических совокупностях.

Средняя арифметическая величина не может отразить этой вариабельности. При одном и том же среднем значении в двух разных совокупностях может быть неодинаковое разнообразие признаков. Это видно на простом примере.

Масса яиц в двух партиях и значения разнообразия следующие:

1) 45-48-52-54-56 SХi = 255 X1 = 51

2) 43-50-50-52-60 SХi = 255 X2 = 51

однако: 1) lim - 45-56

2) lim - 43-60

т. е. разнообразие во второй группе больше. В данном случае разнообразие выражено в лимитах.

Лимиты - это наиболее простой показатель разнообразия. Они показывают размах значений (наивысший и наименьший уровни значений) и применяются достаточно широко. Однако лимиты не являются достаточно точным показателем и не всегда могут вскрыть все тонкости разнообразия в данной группе. Это определяет необходимость расчета более сложного показателя разнообразия признаков - среднего квадратического отклонения. Предположим, что в двух группах кур была получена следующая масса яиц (в граммах):

1) 44-46-47-48-50-54-56-57-58-59

lim = 44-59; = 51,9; SХi = 519; S = 5,56

2) 44-52-52-52-52-52-52-52-52-59

lim = 44-59; = 51,9; SХi = 519; S = 3,58

В этих группах средние арифметические и лимиты одинаковы, однако очевидно, что степень разнообразия в них совсем неодинакова. Уловить это разнообразие при помощи лимитов невозможно.

Для этого привлекается среднее квадратическое отклонение, которое в среднем характеризует отклонение каждой варианты от средней арифметической величины (табл. 6).

Таблица 6

Хi	Хi - Х
44	-7,9
46	-5,9
47	-4,9
48	-3,9
50	-1,9
54	+2,1
56	+4,1
57	+5,1
58	+6,1
59	+7,1

S(Хi - );

(-7,9) + (-5,9) + (-4,9) + (-3,9) + (-1,9)

= - 24,5;

(+2,1) + (+4,1) + (+5,1) + (+6,1) + (+7,1)

= +24,5;

S(Хi - ) = (-24,5) + (+24,5) = 0

Поскольку сумма всех центральных отклонений равна нулю, для получения цифры, характеризующей эту изменчивость, каждое отклонение возводится в квадрат и получается их сумма, т. е. берется сумма квадратов центральных отклонений: S(Хi - )2.

Эта величина называется дисперсией, выражаемой через "С".

Первое равенство - сумма квадратов центральных отклонений - S(Хi - )2 - определяет математическую сущность дисперсии.

Второе равенство, читаемое как сумма квадратов дат минус квадрат их суммы, деленный на объем выборки - является производным первой формулы и имеет широкое применение как рабочая формула, удобная для расчета дисперсии (она может называться еще машинным алгоритмом дисперсии).

При расчете среднего квадратического отклонения необходимо отнести полученную величину дисперсии к числу дат минус единица и извлечь квадратный корень.

Как видно, чтобы определить удельную величину изменчивости, дисперсию делят на число дат, но не полное, а без единицы - (n - 1), что называется числом степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу элементов свободного разнообразия, т. е. числу всех имеющихся элементов изучения без числа ограничений разнообразия. Сущность этого понятия может быть рассмотрена на следующем примере.

Если мы хотим взять для опыта три курицы без каких-либо условий отбора, то величина их продуктивности не имеет ограничений. Число степеней свободы в этом случае υ =3 - 0 = 3. Если же мы должны взять для опыта три курицы, обусловив заранее их среднюю продуктивность в группе, равную 200 яиц в год, то эта средняя величина является фактором, ограничивающим выбор. В этом случае первые две курицы могут иметь любую продуктивность, например, 150 и 210 или 180 и 190 яиц. Третья же курица тогда может иметь только одно значение продуктивности, а именно такое, при котором средняя продуктивность будет равна 200 яиц.

Если продуктивность двух первых куриц 150 и 210 яиц, то третьей - только 240 яиц:

; 600 = 150 + 210 + X

= 600 - 150 - 210 = 240; = 240 яиц

При продуктивности двух первых кур 180-190, продуктивность третьей составит:

; 600 = 180 + 190 + X

= 600 - 180 – 190 = 230; = 230 яиц

В этих случаях два числа выбирать можно свободно, а третье не имеет свободы выбора Для этих трех чисел есть только две степени свободы: υ = 3 - 1 = 2.

При вычислении средней арифметической никаких ограничений значения признака не имеется, поэтому число образующих ее элементов равно числу дат ().

При вычислении среднего квадратического отклонения имеется одно ограничение, оно рассчитывается для группы, имеющей определенную среднюю арифметическую величину. Поэтому разнообразие элементов, образующих среднее квадратическое отклонение ограничено одним этим условием и υ = n - 1.

При делении дисперсии на число степеней свободы получится величина, называемая девиатой, вариансой или средним квадратом:

Извлечение квадратного корня из девиаты дает сигму, среднее квадратическое или стандартное отклонение: