Числовые характеристики дискретных случайных величин

2.6 Числовые характеристики дискретных случайных величин

Задача 1. Произведено четыре выстрела с вероятностями попадания в цель: 0,6; 0,4; 0,5;0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Задача 2. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения. Найти математическое ожидание произведения X и Y двумя способами: а) составив закон распределения случайной величины ;

б) пользуясь свойствами МО.

		1	2			0,5	1
		0,2	0,8			0,3	0,7

Задача 3. Найти МО произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух костей

Задача 4.В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Определить МО числа нестандартных деталей.

Задача 5. Найти МО дискретной случайной величины X, которое представляет число таких бросаний пяти костей, при каждом из которых на двух костях появляется по одному очку. Общее число бросаний равно 20.

Задача 6. Бросают 10 костей. Найти МО суммы чисел очков, которые выпадут на всех десяти костях.

Задача 7. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) ; б) ; в) ., учитывая, что = 5.

Задача 8. Случайная величина Х принимает только два значения: +С и - С с вероятностью, равной 0.6. Определить дисперсию X.

Задача 9. Определить дисперсию случайной величины, зная ее закон распределения:

		0,1	2	10	20
		0,4	0,2	0,15	0,25

Задача 10. Случайная величина может принимать два возможных значения и с вероятностью 0,3 и 0,7, причем больше . Найти и , если известно, что МО равно 2,7, а дисперсия – 0,21.

Задача 11. Найти дисперсию числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если МО равно 0,8.

Задача 12. Устройство состоит из четырех независимых узлов. Вероятности отказов каждого узла равны: P1 = 0.3; Р2 = 0,4; P3 = 0.5; P4 = 0.6. Определить МО и дисперсию отказов устройства как сумму четырех независимых узлов.

Задача 13. Случайные величины заданы законом распределения. Определите среднее квадратическое отклонение X

		2	4	8
		0,1	0,5	0,4

Задача 14. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных величин равна 36. Определить дисперсию и СКО среднего арифметического.

2.7 Законы распределения непрерывных случайных величин

Задача 1. Случайная величина задана интегральной функцией распределения. Найти вероятность того, что в результате испытаний примет значение, заключенное в интервале [0,1].

Задача 2. Случайная величина заданы интегральной функцией. Определить вероятность того, что примет значение больше 2 и меньше 3.

Задача 3. Случайная величина задана законом распределения. Построить график интегральной функции .

		2	6	10
		0,5	0,4	0,1

Задача 4. Случайная величина задана плотностью распределения. Найти коэффициент .

Задача 5. Случайная величина задана плотностью распределения. Определить:

а) интегральную функцию;

б) вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0, / 4).

Задача 6. Дана интегральная функция распределения . Найти дифференциальную функцию распределения.

2.8 Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное, равномерное и показательное распределение.

Задача 1. Случайная величина распределена нормально с МО и СКО соответственно 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытаний примет значение, заключенное в интервале (4;8).

Задача 2. Автомат изготавливает шарики, которые считаются годными, если отклонение его диаметра от проектного составляет 0,7мм. Найти вероятность изготовления годных шариков, если распределение отклонения подчинено нормальному закону с СКО равным 0,4 мм.

Задача 3. Найти МО и дисперсию случайной величины, зная ее плотность распределения.

Задача 4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с СКО, равным 1 мм, и МО, равным 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превысит по абсолютной величине 1,28 мм.

Задача 5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Найти СКО, если 5 % всех коробок имеют массу меньше 1 кг. Учесть, что масса коробок подчинена нормальному закону.

Задача 6. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Отклонение бомбы от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста независимы, распределены нормально и имеют соответственно sx = 6 м и sy = 4 м при а = 0. Найти:

а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы;

б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем для разрушения достаточно попадания хотя бы одной.

Задача 7. Производится обрезка металлической проволоки. Контролируется длина куска проволоки, которая распределена нормально с МО, равным 50 мм. Фактическая длина кусков лежит в диапазоне от 32 до 68 мм. Найти вероятность того, что длина наугад взятого куска проволоки будет: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Задача 8. Найти выражение для определения МО, дисперсии и СКО случайной величины X, равномерно распределенной и интервале (а, в). Определить значение МО, дисперсии и СКО случайной величины X в интервале (0,1).

Задача 9. Ребро куба X измерено приближенно причем 4 £ x £ 5. Рассматривая размер куба как случайную величину X3, распределенную равномерно в интервале (4,5), найти МО и дисперсию объёма куба.

Задача 10. Вероятность безотказной работы одного элемента устройства имеет интенсивность потока отказов l = 0,01/час. Определить вероятность:

а) отказа элемента за время, равное 100 часам;

б) вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов, состоящего из двух элементов, в котором один элемент резервирует другой.

Задача 11. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный.

а) Найти вероятность того, что можно проехать перекресток не останавливаясь.

б) Найти числовые характеристики времени ожидания на перекрестке.

в) Построить интегральную функцию распределения времени ожидания не перекрестке.

Задача 12. Устройство состоит из трех резервирующих друг друга элементов. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону:

Найти вероятность того, что в интервале времени (0 -10) часов:

а) откажет только один элемент;

б) откажут только два элемента;

в) откажут все три элемент;

г) откажет хотя бы один;

д) откажут не менее двух.

Задача 13. Определить вероятность попадания непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону с параметром l в интервале (а, в). Вычислить вероятность попадания в интервал (0, 1) с l = 0,5.

Задача 14. Нож брошен внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания ножа вовнутрь круга пропорциональна его площади. Найти интегральную функцию распределения, МО и дисперсию расстояния от точки попадания ножа до центра круга.

Задача 15. Случайная ошибка измерения подчинена нормальному закону с и мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы одно не превзойдет по своей величине 4 мм.