Тесты

Функция и ее область определения

1. Понятие функции.

2. Основные способы задания функции.

3. Элементарные функции

4. Неявное задание функции.

1. Понятие функции.

Определение.

Пусть Х={x} и У={у} два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и f - множество упорядоченных пар (х, у), где . Соответствие f называется функциональным или функцией, если каждому элементу множества по определенному закону поста-влен в соответствие единственный элемент множества .

Элементы называются значениями аргумента, а элементы- значениями функции..

Множество Х называется областью определения функции :

множество всех значений функции – областью значений этой функции

Чтобы задать конкретную функцию, нужно задать множества Х и У и закон f , устанавливающий соответствие между элементами этих множеств.

В дальнейшем рассмотрим случаи, когда Х и У являются некоторыми числовыми множествами. Функция, областью определений и значений кото-рой являются числовые множества, называется числовой функцией одной действительной переменной.

Обозначается у=f(x) где x- аргумент, f(x) – значение функции.

а) Обратная функция.

Пусть дана функция у=f(x) . Обратное ее соответствие f -1(у) может и не быть функцией.

Если соответствие f -1(у) является функцией, то данная функция f(x) называется обратимой, а функция f -1(у) обратной к функции f(x) с облас-тью определения D(f -1)=E(f) , принимающей значения из D(f).

Роль аргумента обратной функции f -1(у) играют значения уЕ(f) т. е. область определения лежит на оси 0у, а значения функции f -1(у) принадлежат мно-жеству D(f), т. е. область значений функции f -1(у) лежит на оси 0х.

Для получения графика обратной функции в привычном расположе-нии осей (область определения располагается на оси 0х, а область значений – на оси 0у) достаточно повернуть чертеж прямой функции на 1800 вокруг бис-сектрисы I и III координатных углов.

Практически, чтобы найти для функции у=f(x), заданной с помощью формулы, обратную ей функцию х= f -1(у) , нужно уравнение у=f(x) разре-шить, если это возможно, относительно х . Используя обычное обозначение независимой переменной через х , а функции – через у, обратную функцию можем записать в виде у= f -1(х).

Например: у = 5х + 2. Найти ее обратную.

Разрешим уравнение относительно х, получим переходя к обыч-ным обозначениям аргумента и функции, получим обратную функцию - для функции у = 5х + 2 .

б) Сложная функция

Функция F(x), которая числу х ставит в соответствие число ,

называется функцией от функции, или сложной функцией, или суперпози-циией функций, образованной из функций f и q в указанном порядке

F(x)=

Область определения сложной функции F(x)= состоит из таких значе-ний переменной х, которые входят в область определения функции q(x) и для которых, кроме того, q(x) принадлежат области определения функции f. Лю-бую сложную функцию можно представить в виде цепочки элементарных функций, которые являются ее промежуточными аргументами.

Например. F(x)= (х2+3х)2 есть сложная функция от х , т. к. она сос-тоит из цепочки элементарных функций: q(x)= U=x2+3x ; F=U2

в) Некоторые типы числовых функций

1) Четные и нечетные функции

Функция f(x) называется четной, если значения функции, соответ-ствующие любым двум противоположным значениям аргумента из области его определения D(f), равны, т. е. выполняется равенство f(-x) = -f(x), . График всякой четной функции симметричен относи-тельно начала координат.

у

f(-x) f(x)

0 х х

Функция f(x) называется нечетной, если значения функции, соответ-ствующие любым двум противоположным значениям аргумента из области его определения D(f), противоположны, т. е. выполняется равенство f(-x) = -f(x), . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

у

f(x)

- х 0 х х

f(-x)

2) Периодичность

Функция f(x) называется периодической, если для нее существует такое положительное число T>0 , что при любом значении аргумента х, чис-ла х-T и x+T принадлежат области определения f(x) и выполняются ра-венства f (х-T) = f(x) = f( x+T)

В этом случае число T называется периодом функции f(x)

у

0 х х+Т х

3)  Постоянная функция

Числовая функция постоянна, если любому , f(x) =С, Графиком постоянной функции является множество точек, расположенных на прямой, параллельной оси 0х и проходящей через точку С на оси 0у.

у

у=С

С

0 D(f) х

4)  Кусочно-постоянные, или ступенчатые, функции.

Функция, область определения которой разбита на конечное число подмножеств, так, что на каждом из подмножеств функция постоянна, назы-вается кусочно-постоянной или ступенчатой .

у

1

0 х

-1

5)  Ограниченная функция.

Числовая функция f(x) определенная на D(f) называется ограни-ченной , если существует такое число М, что для всех выполняется неравенство .

График ограниченной функции расположен в полосе между двумя прямыми, параллельными оси 0х и проходящими через точки с ординатами М.

у

0 а в х

6)  Монотонные функции.

Числовая функция f(x) называется возрастающей на множестве D(f) если при любом х1 и х2 принадлежащих множеству D(f) из неравенства х1 > х2 следует неравенство то функция f(x) называется строго возрастающей.

у

у = f(x)

f(x2)

f(x1)

0 а х1 х2 в х

Числовая функция f(x) называется убывающей на множестве D(f) если для любых х1 и х2 принадлежащих множеству D(f) из неравенства х1 > х2 следует неравенство

у

у = f(x)

f(x1)

f(x2)

0 а х1 х2 в х

Если из неравенства х1 > х2 следует строгое неравенство то функция f(x) называется строго убывающей.

Функция называется монотонной если она возрастающая или убываю-щая. Функция называется строго монотонной , если она строго возрастающая или строго убывающая.

Есть простой геометрический критерий монотонности функции: если точка движется по графику функции слева направо и все время поднимается снизу вверх или все время опускается сверху вниз, то функция монотонна. Если точка двигаясь по графику функции слева направо, поднимается и опус-кается, то функция не является монотонной.

у у= f(x)

0 а в с d x

на [а, в] f(x) монотонна, а на [а,d] f(x) не является монотонной.

2. Основные способы задания функции.

а) Аналитический способ.

Одним из наиболее распространенных способов задания функции яв-ляется аналитический, т. е. задание функции при помощи формулы, указыва-ющей последовательность операций, которые надо выполнить, чтобы по зна-чению аргумента найти соответствующее значение функции.

Например. f(x)=x2+1

Часто требуется дать расширенное толкование функции, заданной аналитически. В этом случае функция может определяться несколькими фор-мулами, каждая из которых применяется в некоторой части области опреде-ления функции.

Например, функция

Аналитический способ задания функции компактен, легко воспроизводим и, главное наиболее приспособлен к выполнению математических действий. Но он не всегда нагляден, и для определения значений функции иной раз необ-ходимо произвести ряд сложных вычислений.

б) Геометрический способ.

Графическим способом задания функции является ее график.

График функции представляет собой множество точек вида [x,f(x)] на коор-динатной плоскости х0у, абсциссы х которых является значениями аргумен-та функции и принадлежат к области ее определения, а ординат рав-ны соответствующим значениям функции f(x) на абсциссе х : у= f(x)

у

у= f(x)

f(x)

а 0 х в х

Преимущество графического способа задания функции – его нагляд-ность. Графическое изображение функций позволяет во многих случаях пре-двидеть те или иные свойства функции и весь ход ее изменения. Недостаток графического способа задания функций заключается в ограниченной точнос-ти определяемых по значению аргумента х значений функции у.

в) Табличный способ.

При исследовании явлений природы иногда приходится встречаться с такими переменными величинами, функциональная зависимость между кото-рыми устанавливается на опыте или путем наблюдений, но точная связь меж-ду ними не открыта, т. е. не выражена математической формулой.

В таких случаях по результатам наблюдений составляются таблицы, в которых содержатся значения рассматриваемой функции, соответствующие различным частным значениям аргумента. Этот способ задания функцио-нальной зависимости носит название табличного.

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	уn

К табличному способу задания функций прибегают при записи результатов опытов. Табличный способ бывает полезен и тогда, когда нужно найти те или иные конкретные значения функции, не производя дополнительных вычис-лений. Этой цели служат, в частности, таблицы логарифмов, тригонометри-ческие и т. д. Однако таблицы часто имеют большой объем, и их составление требует больших затрат труда. В последнее время с развитием вычислитель-ной техники составление таблиц стало менее трудоемким и роль их значи-тельно снизилась.

Все способы задания функции как бы дополняют друг друга, и часто возникает необходимость перехода от одного способа к другому.

3. Элементарные функции.

Элементарной называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением составленным из основных элементарных фун-кций с помощью последовательно примененных конечное число раз четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции (сложной функции).

1) Основные элементарные функции.

а) Степенная функция у=х а

у у

а=3 а=2 а=-2 а R

а=1/2

а=0 а=-1

0 х

0 х

б) Показательная функция.

у

ех а>1 у=ах

х R

у R+

1 0<a<1

e - x

0 x

в) Логарифмическая функция.

у

а>1 y=ℓogax

y=ℓnx х R+

y R

0 x

0<a<1

г) Тригонометрическая функция.

У

1 х R

y[-1;1]

π

0 2π у=sinx

-1 y=cosx

у

у=ctgx y=tgx

х R , исключая

х= πn+π/2;

х у R

0 у=ctgx

х R х≠πn

y=tgx у R

д) Обратные тригонометрические функции.

у у

у=arcsinx

y=arccosx

y=arcctgx

0 х y=arctgx 0 х

е) Гиперболические функции.

Во многих приложениях математического анализа встречаются ком-бинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как но-вые функции. Так

Гиперболический синус и косинус.

y у=chx у

у=shx

1 1 y=cthx

½ y=thx

0 x 0 x

-1

Для гиперболических функций ch2 x- sh2 x=1

4. Неявное задание функции

Для функции f(x) , графиком является множество всех точек вида [x, f(x) , ] т. е. множество точек (х, у), у которых абсцисса х принад-лежит D(f), а ордината у равна значению функции f(x) на абсциссе х : у= f(x) ;

Функция , заданная в таком виде, называется явной, а последнее раве-нство – уравнением графика функции. График функции может быть выражен множеством точек (х, у), в которых функция двух действительных перемен-ных F (х, у) равна нулю, т. е. F (х, у)=0.

Если в некотором промежутке каждому значению х соответствует единственное значение у, которое совместно х удовлетворяет уравнению F (х, у)=0, то мы говорим, что это уравнение задает (определяет) неявную функцию у.

Переменные х и у в равенстве F (х, у)=0 внешне равноправны, т. е. роль аргумента неявной заданной функции может играть как переменная х так и переменная у.

В каждом конкретном случае их роль определяется особо. Например. у-х-3=0 неявно выражает функцию f(x) значения которой получим, разрешив это уравнение относительно у, т. е. у=х+3, или неявно выражает функцию f(у) , значения которой получим, разрешив это уравне-ние относительно х , т. е. х=у-3.

Заключение.

Рассмотренные способы задания функции не являются единственно возможными. Нередко приходится задавать функцию каким-либо иным способом. В дальнейшем мы встретимся с функциями, которые не выражаются с помощью конечного числа элементарных функций, но могут быть заданы с помощью определённых интегралов или с помощью бесконечных рядов и т. д.

Одним из важных способов задания функции является задание функции различными аналитическими выражениями на различных участках области определения.