Косой изгиб

5.8. Косой изгиб

Раньше мы рассматривали изгиб балок, когда силовая плоскость совпадала с одной из главных плоскостей балки. Если же нагрузка не лежит в главных плоскостях балки, изгиб называется косым. Расчет балок на косой изгиб рассмотрим на примере изгиба балки–консоли, изображенной на рис.5.25. Разложим силу F на вертикальную FY = F cosa и горизонтальную FX = F sina составляющие. От действия FY в сечении 1 – 1 возникает изгибающий момент

MX = FY z = F z cosa = M cosa, изгибающий балку в вертикальной плоскости, а от действия FX - изгибающий момент

MY = FX z = F z sina = M sina, изгибающий балку в горизонтальной плоскости.

Используем принцип суперпозиции и сложим напряжения, возникающие от MX и MY.

s = s ( MX ) + s ( MY ) =

( 5.17 )

Найдем положение нейтральной линии ( Н-Л ), делящей сечение балки на растянутую и сжатую зоны. Ее координаты обозначим хо и уо. На нейтральной линии s = 0. Тогда из уравнения ( 5.17 ) получим

( 5.18 )

Это уравнение нейтральной линии. Если х0=0 то из уравнения (5.18) следует, что у0=0, то есть нейтральная линия проходит через начало координат. Найдем угол β наклона нейтральной оси к оси х. (рис.5.26)

Из треугольника OCD , из уравнения (5.18) .

Отсюда . Если Ix=Iy, ,то балка не испытывает косой изгиб.

Опасными точками в сечении являются точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной линии. Их находят, проводя касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. В точке А( хА, yA ) материал испытывает растяжение, а в точке В( хB, yB ) – сжатие. Если материал разносопротивляется растяжению и сжатию, то проверяют условия прочности, как на растяжение, так и на сжатие. Из формулы (5.17)

Прогиб при косом изгибе перпендикулярен нейтральной линии. Это можно получить самостоятельно, рассматривая изгиб балки - консоли под действиям сосредоточенной силы, приложенной на ее конце.

5.9. Внецентренное растяжение – сжатие

В том случае, когда линия действия нагрузки параллельна оси стержня, но не совпадает с ней, стержень испытывает внецентренное растяжение или сжатие. Рассмотрим внецентренное сжатие ( рис. 5.27,а ). Перенесем силу F в точку О к оси стержня. При этом к силе F добавятся два изгибающих момента Mx = FyF и My = FxF ( рис. 5.27,б ). Используем принцип суперпозиции и определим напряжение в сечении от

центрального сжатия силой F Рис. 5.27

и изгиба от моментов Mx и Mу

(5.19)

Найдем положение нейтральной линии (H-Л), делящей сечение стержня на растянутую и сжатую зоны. Координаты нейтральной линии обозначим х0 и у0. На нейтральной линии . Тогда из формулы (5.19) получим

(5.20)

Для построения нейтральной линии вычислим отрезки, ах - это х0 при у0 = 0 и ау – это у0 при х0 = 0, отсекаемые нейтральной линией на осях координат ( рис. 5.28 ).

Из уравнения (5.20) при у0=0 получим

(5.21)

При х0=0 получим

(5.22)

Опасными точками в сечении являются точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной линии. Их находят, проводя касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. В точке А ( хА, уА ) материал испытывает растяжение, а в точке В ( хB, уB ) сжатие. Если материал разносопротивляется растяжению и сжатию, то проверяют условия прочности как на растяжение, так и на сжатие. Из формулы (5.19)

; .

Для некоторых материалов нежелательно, чтоб в сечении возникали напряжения разных знаков. Так, например, серый чугун, бетон плохо сопротивляются растяжению. Для стержней из таких материалов находят

ядро сечения - область, расположенную вокруг центра тяжести сечения и обладающую следующим свойством: если внецентренную нагрузку приложить внутри ядра сечения, то напряжения в сечении будут одного знака. Построим ядро сечения для прямоугольного ( рис. 5.29,а ) и круглого ( рис. 5.29,б ) сечений.

Так как нейтральная линия не должна пересекать сечение, то есть делить его на растянутую и сжатую зоны, то предельное ее состояние – касательная к контуру сечения. Для прямоугольного поперечного сечения ( рис. 5.29,а ), отрезки, отсекаемые нейтральной линией Н-Л на осях координат, равны , .

Тогда из выражений ( 5.21 ) и ( 5.22 ) получим

,

Отложим точку I с такими координатами. Проведем нейтральные линии через другие стороны прямоугольного контура и найдем координаты точек II, Ш и IV. Соединим их и получим контур ядра сечения.

Для круглого поперечного сечения ( рис. 5.29, б ), отрезки,

отсекаемые нейтральной линией Н - Л на осях координат,

равны , .

Тогда из выражений ( 5.21 ) и ( 5.22) получим

,

Отложим точку I с такими координатами. Поворачиваем нейтральную линию как касательную к контуру и получим ядро сечения в виде круга.

5.10. Изгиб с кручением

Если в поперечном сечении стержня равна нулю только продольная сила N, то стержень испытывает изгиб с кручением. Таким образом, зада-ча сводится к расчету стержня на косой изгиб и кручение. Наиболее часто

изгиб с кручением испытывают валы круглого или кольцевого сечений. В этом случае IX = IY и мы имеем не косой, а плоский изгиб для каждого сечения в своей плоскости. В этом случае расчет вала на изгиб с кручени-ем проводится следующим образом:

-  находим значения крутящих моментов и строем эпюру MК;

-  определяем нагрузки, изгибающие вал в горизонтальной и вертикаль-ной плоскостях и строем эпюры изгибающих моментов MX и MY ;

-  находим суммарные изгибающие моменты в сечениях вала по формуле

;

-  находим опасные сечения вала, в которых величины крутящего и суммарного изгибающих моментов являются либо максимальными, либо достаточно большими;

-  наиболее напряженными точками в опасных сечениях вала являются точки на его периферии, в которых касательные и нормальные напряжения максимальны : , .;

-  так как материал вала испытывает плоское напряженное состояние, рас-чет проводим с использованием критерия прочности и пластичности.

Валы обычно изготавливаются из малоуглеродистой стали, поэтому используем критерий наибольших касательных напряжений или энергетический критерий. Для этого по формуле ( 3.8 ) определяем величины главных напряжений и подставляем их в уравнения ( 3.10 ) и ( 3.11 ). Учитывая, что WP = 2 WX, условие прочности запишем для проверочного расчета

,

где - расчетный момент по критерию наибольших

касательных напряжений, или - расчетный

момент по энергетическому критерию;

-  при проектировочном расчете размеры поперечного сечения вала найдем из условия

.

5.11. Расчет винтовых цилиндрических пружин

Геометрия пружины определяется средним диаметром витка D, числом витков - n; углом подъема витка - a. Шаг пружины . Обычно S<<D и a<5°. Пружины растяжения, сжатия и кручения отличаются отделкой концов ( рис. 5.31 ).

Рассмотрим пружины из круглой проволоки диаметром d.

а б в

Рис. 5.31 Рис. 5.32

Расчет пружин растяжения – сжатия. Используем метод сечений ( рис. 5.32 ). В поперечном сечении проволоки, параллельно оси пружины действуют силы F и . В нормальном поперечном сечении проволоки ( рис. 5.33 ) возникают внутренние силы:

,

,

и .

Рис. 5.33 Рассчитаем пружину на прочность. Влиянием Мизг и N пренебрегаем так. как a мал ( sina»0; cosa»1 ). В поперечном сечении возникают касательные напряжения от поперечной силы Q и от крутящего момента Мк.

; .

, где - индекс пружины.

Так как , то получим .

Для пружинной стали:.

Определим перемещение пружины. Пренебрегаем перемещениями от действия Q, а также от действия N и Мизг, которые малы, так как sina мал. Остается перемещение от Мкр. Используем интеграл Мора для определения вертикального перемещения d пружины. Приложим фиктивную единичную силу в направлении перемещения.

Тогда . . Откуда , где - - длина развернутой пружины, ,

; и

Отогнутая часть для пружин растяжения и по ¾ витка с каждой стороны для пружины сжатия в расчет не принимаются.

Расчет пружин кручения. В вертикальном сечении проволоки прохо-дящем через ось пружины, действует горизонтальный момент m (рис5.34).

Рис. 5.34 Рис. 5.35

В нормальном сечении проволоки возникают MK = m sina и Mизг = m cosa

(рис.5.35). Пренебрегаем MK. Условие прочности запишется .

Определим перемещение пружины. Для определения угла закручивания всей пружины используем интеграл Мора. Приложим к пружине единичный момент . Тогда перемещение пружины

.

Величина усилия F, или момента m, при которой деформация пружины равна 1 , называется жесткостью пружины – С. Для пружин

растяжения – сжатия , для пружин кручения .