Занятие 23. Пучок прямых

Тема 6.

Занятие 23. Пучок прямых.

Лекция № 14.

Основные вопросы.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Пучок прямых.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

4. Угол между прямыми.

5. Расстояние от точки до прямой.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть прямая задана общим уравнением . Допустим, что оно определяет всякую прямую, но не параллельную оси 0у (В ≠ 0) . Раз-решив это уравнение относительно у , получим

.

Положив , приведем полученное уравнение к виду

(12)

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и в в уравнении (12)

а) б) в)

Рис. 6.6. Геометрический смысл коэффициентов k и в уравнения (12)

Пусть прямая пересекает ось 0х в точке А. Углом наклона данной прямой к оси 0х назовем α угол , на который надо повернуть против хода часовой стрелки ось 0х до ее совмещения с этой прямой (рис. 6.6 , а) и б) ). Возьмем две точки на прямой, заданной уравнени-ем (рис. 6.6, в) ).

Тогда из прямоугольного имеем

(13)

Тангенс угла наклона прямой к оси 0х называется угловым коэффициен-

том этой прямой.

Данная прямая пересекает ось 0у в точке В(0;в) . Коэффициент в в уравнении (12) с точностью до знака равен отрезку, отсе-каемому прямой на оси 0у (при х = 0), и называется начальной ординатой .

Уравнение вида (12) называется уравнением прямой с угловым коэффи-циентом (иногда уравнением, разрешенным относительно ординаты) при ус-ловии, что прямая не параллельна оси ординат.

Пример. .

2. Пучок прямых.

Через одну точку М(х0 ,у0) на плоскости множество прямых, которое на-зывается центральным пучком (или просто пучком). Точка М0 называется центром пучка.

Пусть прямая проходит через точку (х0 ,у0) .

Тогда , откуда .

Подставив значение С в исходное, получим откуда (14)

При различных А и В , одновременно не равных нулю, уравнение (14) определяет различные прямые и называется уравнением пучка прямых, про-ходящих через точку (х0 ,у0) .

Преобразуем уравнение (14) к виду

, (15) где .

Полученное уравнение (15) также называется уравнением пучка прямых (кроме той, которая параллельна оси ординат).

Величина называется параметром пучка и характеризует нап-равление прямой; она меняется от одной прямой пучка к другой.

Пример 3. Определить угловой коэффициент k и начальную ординату в для прямой 5х + 3у + 3 = 0 . Составить уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения данной пря-мой с осью 0х .

Решение. 1) Разрешим данное уравнение относительно у :

. Итак, .

2) Центр пучка имеет координаты () . Тогда уравнение пучка будет или .

Из приведенного примера 3 видно, что центр пучка был задан точкой пересечения прямой и оси абсцисс.

Действительно, в общем случае центр пучка М0 задается парой пересе-кающихся прямых

(16)

Умножим первое уравнение системы (16) на произвольное число α , а второе уравнение – произвольное число β , и сложим их :

α () + β () = 0 (17) где α и β не равны нулю одновременно.

Уравнение (17) также определяет пучок прямых с центром пучка в точке М0 пересечения данных прямых, т. е. в точке, определяемой системой (16).

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Прямая линия ℓ на плоскости (или в пространстве) полностью опреде-лена, если на ней заданы точки М0 и не нулевой вектор , параллельный этой прямой (рис. 6.7).

Рис. 6.7. К выводу векторного параметрического уравнения.

Вектор принято называть направляющим вектором прямой, а точку М0 – начальной точкой .

Возьмем на прямой ℓ текущую точку М . Векторы и коллине-

арны, поэтому при любом расположении точки М на прямой будет иметь место следующее равенство:

(векторное параметрическое уравнение прямой).

Здесь t - числовой множитель, который может быть любым дейст-вительным числом в зависимости от положения точки М на прямой называется параметром.

Если вектор совпадает по направлению с вектором , то , в противном случае .

Пусть - радиус-вектор точки М , а - радиус-вектор точки М0 , тогда или

(18)

Уравнение (18) - параметрическое уравнение прямой в векторной фор-ме (или векторное параметрическое уравнение прямой).

Замечание 3. Векторное параметрическое уравнение имеет одинако-вый вид и для прямой в и для прямой в .

Перейдем к рассмотрению параметрических уравнений прямой в коор-динатной форме.

Случай .

Обозначим координаты точек М и М0 (рис.6.7) через и . Координаты направляющего вектора обозначим . Тогда, раск-ладывая по координатам обе части уравнения (18), получаем: парамет-рические уравнения прямой в координатной форме :

(19) Исключим из уравнения (19) параметр t , для чего сначала решим каждое из уравнений относительно t :

а затем, приравняв правые части этих равенств, получим уравнение вида:

(20)

Уравнение (20) - каноническое уравнение прямой на плоскости ().

Термин «канонический» обозначает общепринятый, простейший, образ-цовый.

Теперь поставим задачу: составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть на плоскости даны точки . Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через М1 и М2 , достаточно принять

точку М1 за начальную, а вектор с координатами

за направляющий вектор прямой. Этот вектор не нулевой, если точки М1 и М2 не совпадают. Тогда согласно формуле (20) получим необходимое уравнение прямой, проходящей через две данные точки

(21)

Пример 4. Составить параметрические и канонические уравнения пря-мой ℓ1 проходящей через две точки , а также уравнение прямой ℓ2 проходящей через точку М1 и перпендикулярно вектору .

Решение. 1). Пусть точка М1 – начальная точка, тогда по условию можно построить график

2) - направляющий вектор прямой ℓ1 :

;

а) параметрические уравнения прямой ℓ1 :

б) канонические уравнения прямой ℓ1 (или уравнение прямой, прохо-дящей через две заданные точки):

.

3) - нормаль прямой ℓ2 : ;

4. Угол между прямыми.

Чтобы определить угол φ между двумя прямыми, следует найти их нап-

равляющие векторы (рис. 6.8) и вычислить угол между ними по формуле

Рис. 6.8. Угол между прямыми.

При этом следует иметь в виду, что, если выбрать на одной из прямых направляющий вектор, направленный в другую сторону, то тем же способом вычислим другой угол φ1, дополняющий угол φ до π . Поэтому .

Следовательно, если две прямые на плоскости заданы каноническим уравнением

то

(22)

Замечание 4. Если прямые заданы уравнениями в общем виде:

,

(23)

Замечание 5. Острый угол между прямыми и

определяется по формуле

(24)

Условия параллельности и перпендикулярности

прямых на плоскости

Для того, чтобы, например, две данные прямые были параллельны,

необходимо и достаточно, чтобы или их нормальные векторы

или направляющие векторы были коллине-арны.

Условием коллинеарности векторов, а следовательно, и условием параллельности прямых является пропорциональность их соответствующих

координат :

В случае прямых и условие их параллельнос-ти имеет вид .

Если же прямые взаимно перпендикулярны, то нормальные векторы и или направляющие векторы и этих прямых ортогональны. Как из-вестно, условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Поэтому необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых запишется в виде

или

Условие перпендикулярности прямых и имеет вид

.

5. расстояние от точки до прямой на плоскости.

При взаимном расположении точки и прямой может оказаться, что точка расположена на прямой или быть расположена по одну или другую сторону от прямой.

Если координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой ℓ , то М ле-жит на L ; в противном случае не лежит.

Пусть требуется найти расстояние d от точки М1(х1 ,у1) до прямой на плоскости, заданной уравнением в общем виде .

Опустим из точки М перпендикуляр М1К на данную прямую ℓ (рис. 6.9).

Расстояние d будет равно модулю вектора . Так как вектор и нормальный вектор прямой ℓ параллельны, то скалярное произ-ведение этих векторов будет

.

Но угол φ может быть равен 00 , в случае размещения точки М1 , как указано на рис. 3.5, а может быть равен 1800 , в случае расположения точки по другую сторону от прямой. Поэтому и с учетом будем иметь :

Рис. 6.9. Расстояние от точки до прямой.

Обозначим через координаты точки К и выражая скалярное произведение в координатной форме, получим

Раскрывая в левой части этого равенства скобки, прибавляя и вычитая величину С , будем иметь

Так как точка К(х0 у0) принадлежит данной прямой, то =0 .

Следовательно, расстояние от точки до прямой

или, записывая без двойного знака при помощи знака модуля и учитывая, что , получим

(25)

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой на плос-кости, необходимо в левую часть уравнения прямой на плоскости вместо текущих координат подставить координаты данной точки, взять это по мо-дулю и разделить на длину нормального вектора прямой.