Контрольная работа 1 (вариант 1) (стр. 4 )

4)  определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем P, хотя бы одна деталь была годной.

Замечание. В пунктах 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией при отсутствии нужного значения в таблице.

а = 1

σ = 0,5

= 0,738

= 1,421

n = 3

Р = 0,95

ε = 0,641

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Вариант 7)

(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)

Элементы теории вероятностей

Задача 1. Выразить событие С через события Аi и Вj из условия задачи,

используя операции сложения, умножения и отрицания. При этом

слагаемые в выражении должны быть попарно несовместными.

Два стрелка по очереди стреляют по мишени по два раза. Аi – первый стрелок попал при i-ом выстреле. Вj – второй стрелок попал при j-ом выстреле. С – стрелки попали в мишень равное число раз.

Задача 2. Среди кандидатов в сборную команду института 3 первокурсника, 4 второкурсника и 7 третьекурсников. Для участия в соревнованиях формируется сборная из 5 человек. Какова вероятность того, что в сборной не окажется второкурсников, если отбор в сборную производится случайным образом?

Элементы цепи выходят из строя с вероятностью 0,1; 0,3; 0,1 и 0,2 соответственно.

Задача 3. Электрическая цепь составлена по схеме: Найти вероятность того, что цепь работает.

Задача 4. Для сигнализации о неполадках в работе автоматической линии используется один индикатор, принадлежащий с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1,00, 0,75, 0,4. Найти вероятность того, что индикатор срабатывает при неполадке в работе линии. Какова вероятность того, что для контроля используется индикатор первого типа, если подан сигнал о произошедшей в работе линии неполадке?

Задача 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию

случайной величины X. Построить график функции распределения и

найти вероятность события Х≤K.

Одновременно бросают 4 монеты. Х – число выпавших “орлов”. К = 3.

Задача 6. В случаях а, б и в рассматривается серия из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом – “успех” или “неуспех”. Вероятность “успеха” равна p, “неуспеха” – q = 1 - p в каждом испытании. Х – число “успехов” в n испытаниях.

Требуется:

1)  для случая а (малого n) построить ряд распределения, функцию распределения Х, найти М(Х), D(X), P(X ≤ 2);

2)  для случая б (большого n малого p) найти вероятность P(X ≤ 2) приближенно с помощью распределения Пуассона, оценив точность приближения;

3)  для случая в (большого n) найти вероятность P(k1 ≤ X ≤ k2) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Случай a	Случай б	Случай в
n = 5	n = 50	n = 400, k1 = 350
p = 0,6	p = 0,01	p = 0,9, k2 = 365

Задача 7. Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а и квадратическим отклонением σ. Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале [а – ε, а + ε]. Требуется:

4)  записать формулу плотности распределения и построить график плотности;

5)  составить таблицу значений функции распределения отклонения для значений х = а +kσ, где k = 0, ± 1, ± 2, ± 3 и построить график;

6)  найти вероятность того, что при выборе наудачу n деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ;

7)  определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем P, хотя бы одна деталь была годной.

Замечание. В пунктах 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией при отсутствии нужного значения в таблице.

а = 5

σ = 12

= -3,1

= 9,62

n = 2

Р = 0,95

ε = 12,444

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Вариант 8)

(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)

Элементы теории вероятностей

Задача 1. Выразить событие С через события Аi и Вj из условия задачи,

используя операции сложения, умножения и отрицания. При этом

слагаемые в выражении должны быть попарно несовместными.

У каждого из двух игроков имеются белые и черные шары. Они дважды берут по одному из своих шаров и обмениваются ими. Аi – первый игрок при i-ом обмене отдал белый шар. Вj – второй игрок при j-ом обмене отдал белый шар. С – количество белых шаров у первого игрока после обмена увеличилось.

Задача 2. Выполняя заказ на изготовление 50 золотых медалей, ювелир заменил 2 медали фальшивыми. Для контроля заказчик случайным образом выбирает 3 медали. Найти вероятность разоблачения ювелира.

Задача 3. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Взято подряд без возвращения 2 шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.

Задача 4. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара, после чего из второй урны извлекают один шар. Найти вероятность, что этот шар белый. Какова вероятность, что из первой урны во вторую были переложены белый и черный шары, если из второй урны извлечен белый шар?

Задача 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию

случайной величины X. Построить график функции распределения и

найти вероятность события Х≤K.

Производится набрасывание колец на колышек до первого успеха, при этом число всех колец, имеющихся в распоряжении, равно 5. Вероятность набрасывания равна 0,25. Х – число использованных колец. К = 2.

Задача 6. В случаях а, б и в рассматривается серия из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом – “успех” или “неуспех”. Вероятность “успеха” равна p, “неуспеха” – q = 1 - p в каждом испытании. Х – число “успехов” в n испытаниях.

Требуется:

1)  для случая а (малого n) построить ряд распределения, функцию распределения Х, найти М(Х), D(X), P(X ≤ 2);

2)  для случая б (большого n малого p) найти вероятность P(X ≤ 2) приближенно с помощью распределения Пуассона, оценив точность приближения;

3)  для случая в (большого n) найти вероятность P(k1 ≤ X ≤ k2) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Случай a	Случай б	Случай в
n = 4	n = 400	n = 100, k1 = 75
p = 1/3	p = 0,0025	p = 0,8, k2 = 84

Задача 7. Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а и квадратическим отклонением σ. Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале [а – ε, а + ε]. Требуется: