7-8 класс.
Ответы и критерии.
1. На улице, став в кружок, разговаривают четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Нина. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Ниной. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье на каждой из девочек?
Решение: ясно, что в зеленом платье должна быть Галя. Поэтому Валя не может быть в зеленом, а условие исключает все другие платья, кроме голубого. Соседки Гали и девочки в белом платье должны совпадать, поэтому Нина обязана быть в розовом платье. Ане остается только белое платье.
Критерии:
Только ответ, без пояснений – 4 балла.
Полное решение – 5 баллов.
Логическая таблица засчитывается за пояснение.
2. На экране калькулятора горит трехзначное число. Каждую секунду к нему прибавляется его первая цифра. Докажите, что через некоторое время на экране будет гореть число 600000002.
Решение: каждую секунду будет прибавляться однозначное число, поэтому мы всегда получим число в интервале от 100000000 до 10000008. Далее, уже будет прибавляться по единице, поэтому мы в любом случае пройдем через число 100000008, следовательно ответ не зависит от того числа, которое горело в начале. От числа 100000008, прибавляя по 1, дело дойдет до числа 200000000, затем, прибавляя по 2 – до 300000000, затем, прибавляя по 3 – до 400000002, затем, прибавляя по 4 – до 500000002, и, наконец, прибавляя по 5, дойдем до 600000002.
Критерии:
Указано, что существует число, которое загорится независимо от того, что было в начале – 2 балла.
Есть рассуждения, предсказывающие поведение калькулятора в интервале от 100000000 до 600000002 – 2 балла.
Полное решение 5 баллов.
3. На гипотенузе BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отметили точки E и D так, что BE=BA и CD=CA. Докажите, что 
.
Решение: Вначале заметим, что точка D лежит между B и E. Действительно, в противном случае, мы получим, что BC>AB+AC, что противоречит неравенству треугольника.
Треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, используя соотношение о сумме углов треугольника получаем, что 
. Треугольники ABD и ACE равнобедренные, снова используем соотношение о сумме углов треугольника и получаем 
. Вновь используем теорему о сумме углов треугольника для треугольника AED и получаем, что .
Критерии:
Не доказано, что точка D лежит между B и E – (-1 балл)
Арифметические ошибки – (-1 балл)
Угадан или найден один из углов 
- 2 балла
Полное решение – 5 баллов.
4. Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?
Решение: Пусть Остап взял себе x рублей, а Киса взял себе y рублей, тогда, по условию, 0,4x = 0,6y. Отсюда получим, что 0,5x = 0,75y. Следовательно, если бы доля Остапа увеличилась на 50%, то доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.
Критерии:
Полное решение – 5 баллов.
5. Используя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 15. Например, 18=2*2*2*2+2. Старайтесь использовать наименьшее количество двоек.
Решение: Это можно сделать, например, так:
Критерии:
За неверное представление числа, или за его отсутствие, или за использование более пяти двоек снимается один балл.
Все числа правильно и корректно представлены – 5 баллов.
