Пример 1. ()

Пример 1. ()

Уравнения Лагранжа первого рода.

Две весомые материальные точки М1 и М2 с массами и соединены невесомым стержнем длины l. Система может двигаться в вертикальной плоскости и так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М1 и М2.

Уравнения связей таковы:

(1.1)

Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями имеют вид

(1.2) и

(1.3) Из уравнений (1.2) с учётом первого из уравнений (1.1) определим λ и μ:

(1.4) Из уравнений (1.3) также выразим λ и μ:

(1.5) Приравнивая выражения для λ и μ и полагая для простоты , получаем:

(1.6) Введём обозначения:

(1.7) Тогда уравнения (1,1) и (1.6) перепишутся так:

(1.8) Полагая из первых двух уравнений

(1.9)

,

,

откуда .

Из третьего равенства (1.8) имеем:

(1.10) и таким образом

В силу равенств (1.9) и (1.10), имеем:

В результате интегрирования получаем

Окончательно имеем:

Здесь и – произвольные постоянные.

Пример 2

Уравнения Аппеля.

Энергия ускорений твёрдого тела, закреплённого в центре масс, может быть представлена в форме

Здесь многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от . Обозначив , рассмотрим отдельные слагаемые.

. Тогда

, где J – тензор инерции относительно центра масс. Считая, что он задан в главных осях, получаем . В дальнейшем будем полагать и соответственно , так что

Рассмотрим теперь отдельно произведение

Поэтому

и таким образом

С учётом сделанных выше обозначений, имеем

В результате получаем

Что касается обобщённых сил, мы можем считать . Поскольку система склерономна, и , где L – момент относительно центра масс внешних сил, приложенных к телу. Таким образом,

Уравнения движения тела таковы:

Эти уравнения, называемые уравнениями Эйлера, мы получали в теоретической механике.

Пример 3

Построим уравнения движения из примера 1 как уравнения Аппеля.

В качестве обобщённых координат вводим – координаты центра стержня и угол его поворота относительно горизонтальной оси. Уравнение неголономной связи в этих координатах

или

Энергия ускорений

Квазискорости : и ;

Для определения обобщённых сил выпишем работу внешних сил на возможном перемещении: . Таким образом,

Уравнения Аппеля:

. Интегрируя, имеем:

Пример 4

Составление уравнений движения непрерывных систем

Рассматривается упругая балка, положение которой нельзя задать конечным числом параметров. Пусть – смещение точки балки, – материальная координата точки. Потребуем, чтобы действие удовлетворяло принципу Гамильтона. Кинетическая энергия балки определяется выражением

, (3.1) а потенциальная энергия – выражением

. (3.2) Здесь а . Функция Лагранжа записывается в виде

. (3.3) Величина называется плотностью лагранжиана; – действие по Гамильтону. Считаем, что балка совершает малые колебания относительно положения равновесия и

, (3.4) где – истинное движение, . Заметим, что в формуле (3.4) можно при необходимости менять порядок интегрирования. Рассмотрим интеграл

. Поскольку постольку .

. В результате имеем

. (3.5) Если есть ещё какие-либо нагрузки – распределённая нагрузка , силы на правом и левом конце балки и , моменты и , тогда мы будем использовать принцип Гамильтона-Остроградского в форме

где .

Теперь уравнения балки принимают форму

(3.6)

Внутри интервала вариацияпроизвольна, вариации , и независимы, следовательно

; (3.7)

(3.8)

Формула (3.7) – уравнение движения балки, а уравнения (3.8) служат для построения граничных условий. Если k-ый конец балки свободен, то вариации и отличны от 0 и поэтому

(3.9) Если k-ый конец балки шарнирно опёрт, то вариация равна 0 и . Вариация отлична от 0 и поэтому. В случае, если k-ый конец балки заделан, вариации и равны 0 и граничные условия таковы: и

Пример 5

Колебания тяжёлой цепи.

Пусть а – материальная координата точки на нерастяжимой цепи;

– проекции перемещения точки на оси координат х и у.

Тогда положение точки определяется выражениями

(4.1)

В силу нерастяжимости цепи Имеем , откуда

Сокращая на da и возводя в квадрат, получаем

. Пренебрегая величиной , получаем

(4.2)

Кинетическая энергия:

, где ρ– погонная плотность, –элементарная масса, – длина цепи. Считая плотность постоянной и учитывая, что есть величина более высокого порядка малости, чем , имеем

(4.3)

Найдём теперь положение центра масс цепи.

(4.4) В недеформированном состоянии центр масс цепи имеет координату и таким образом поднимается центр масс на величину

(4.5) Потенциальная энергия цепи, таким образом, равна

, (4.6) а лагранжиан

(4.7)

Замечая, что , т. к. в граничных точках истинный и окольные пути совпадают, а также что , поскольку , получаем

(4.8) Из произвольности следует уравнение в частных производных

(4.9) Решение этого уравнения ищется в форме

– уравнение Бесселя с граничными условиями:

ограничено Решение этого уравнения

причём – корни уравнения , а частоты

Метод раскрытия частотного определителя.

Пусть задана система линейных дифференциальных уравнений

, (1) в которой q – n-мерный столбец, а А и С – матрицы размерности , и матрица А положительно определена. Обозначив преобразуем уравнение (1) к виду

(2) и введём дополнительную координату . Полагая где , получим:

или (3) где D1 – первая строка матрицы D. Система (3) представляет собой систему n+1 однородных линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными. Эта система имеет нетривиальное решение лишь при условии равенства нулю её определителя

(4) где – j –й элемент строки .

Сложив первый и второй столбцы определи, находим

откуда

(5)

Введём определитель

и величины – алгебраические дополнения первого столбца и соответствующей строки определителя . Тогда

. обозначая , перепишем уравнение (5) в виде

. (6) Конечно, для составления уравнения (6) необходимо раскрыть n определителей n-1-го порядка, но это числовые определители и их раскрытие – вполне выполнимая задача.

утверждает, что так получается не характеристический, а минимальный многочлен матрицы А.

Пример 6.

Углы Эйлера

Имеется две системы координат, Ox0y0z0 и Ox1y1z1. Линию пересечения плоскостей x0y0 и x1y1 обозначим On, а её орт n. Угол между лучами Ox0 и On обозначим ψ (угол прецессии), угол между осями Oz0 и Oz1 обозначим(угол нутации), а угол между лучами On и Ox1 φ (угол собственного вращения). Как нетрудно убедиться, переход от системы Ox0y0z0 к системе Ox1y1z1 может быть осуществлён путём трёх последовательных поворотов:

1.  на угол ψ вокруг оси Oz0, причём ось Ox0 занимает положение On;

2.  на угол вокруг оси On, причём ось Oz0 занимает положение Oz1;

3.  на угол φ вокруг оси Oz1, причём ось On занимает положение Ox1.

В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме

	x1	y1	z1
x0	cosψ cosφ– sinψ cos sinφ	– cosψ sinφ– sinψ coscosφ	sinψ sin
y0	sinψ cosφ+ cosψ cossinφ	– sinψ sinφ+ cosψ coscosφ	– cosψ sin
z0	sinsinφ	sincosφ	cos

При этом орт k1 оси Oz1 выражается через орты i0, j0 и k0

k1= i0 sinψ sin – j0 cosψ sin + k0 cos,

а орт k0 оси Oz0 выражается через орты i1, j1 и k1

k0= i1 sinsinφ + j1 sincosφ + k1 cos.

Для того, чтобы выразить проекции угловых скоростей на оси обеих систем координат, нам необходимо ещё разложение орта n оси On по ортам осей обеих систем координат:

n= i0 cosψ + j0 sinψ = i1 cosφ – j1 sinφ.

Поскольку результирующий поворот складывается из трёх указанных выше поворотов, угловая скорость системы Ox1y1z1 относительно системы Ox0y0z0 может быть представлена в форме:

Окончательно имеем:

Пример 7

Углы карданова подвеса.

Карданов подвес состоит из двух колец со взаимно перпендикулярными пересекающимися в совпадающих центрах колец осями вращения. Внутреннее кольцо выполнено в виде кожуха и несёт на себе подшипники, в которых вращается гироскоп. Пусть система координат Ox0y0z0 неподвижна, а система координат Ox1y1z1 подвижна и жёстко связана с гироскопом. Тогда переход от неподвижной системы координат к подвижной может быть осуществлён тремя последовательными поворотами:

1.на угол α вокруг оси Ox0, причём ось Oy0 занимает положение Om, а ось Oz0 –положение Ol;

2.на угол вокруг оси Om, причём ось Ol занимает положение Oz1 а ось Ox0 –положение On;

3.на угол φ вокруг оси Oz1, причём ось On занимает положение Ox1, а ось Om –положение Oy1.

В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме

	x1	y1	z1
x0
y0
z0

Этот же результат может быть получен перемножением матриц поворота:

Пример 8

Устойчивость линейных систем

а)

Характеристическая матрица системы

Было сделано 12 элементарных преобразований, не изменяющих абсолютного значения определителя.

1.  Смена знака строки 1

2.  Столбец 1=1-4*(2+λ)

3.  Столбцы 2=2-4 и 3=3-4

4.  Строка 3=1+3

5.  Строка 4=4-1*(2-λ)

6.  Столбец 4 на место столбца 1

7.  Столбец 3=3+2*(1+λ)

8.  Строка 3=3+2*(2- λ)

9.  Строка 4=4-2*(1+ λ2)

10.  Столбец 3=3+4*(λ-1)

11.  Строка 3=3+4

12.  Столбец 4 меняет знак и меняется местами со столбцом 3

Характеристическое уравнение может быть записано в форме

Это уравнение имеет корни λ=0 и λ=–1, оба кратности 2. При этом кратность корня λ=–1 не имеет для суждения об устойчивости значения. При λ=0 характеристическая матрица имеет дефект, равный 2. Поэтому система устойчива, хотя и не асимптотически.

б)

Характеристическая матрица системы