УДК 517.51
Евразийский национальный университет им. , Астана
ОБ ОДНОМ ПРИМЕРЕ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТИПА ХАРДИ
Лоренц кеңістіктеріндегі ортогональды қатарлардың қандай да бір класы үшін жасалған Харди типті түрлендірудің шектелгендігі жөніндегі мәселе зерттелген. Харди түрлендіруі шектелген болуы үшін p параметріне қойылған шарттардың қажеттілігін көрсететін мысал келтірілген.
We consider the boundedness of Hardy type transformation for some class of orthogonal series in Lorentz spaces. It is shown that the conditions for parameter p are necessary.
В работах [1], [2] рассматривалась следующая задача:
Пусть 
— регулярная система, т. е. существует константа 
такая, что:
1) для любого отрезка 
из 
и 
верно
;
2) для любого отрезка 
(конечная арифметическая прогрессия с шагом 1) из 
и 
где 
— невозрастающая перестановка функции 
, 
— количество элементов во множестве .
Предположим, что 
— некоторая последовательность конечных подмножеств из . Через 
обозначим последовательность множеств 
, где 
. Для 
, 
и последовательности определим преобразование 
:
, (1)
которое назовем преобразованием типа Харди, отвечающим последовательности множеств . В случае 
, , преобразование совпадает с преобразованием Харди [3].
Через 
обозначим пространство Лоренца. Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть 
, 
, 
, 
— регулярная система, 
— семейство отрезков в таких, что 
(
— количество элементов в 
). Тогда преобразование Харди 
ограничено в пространстве , т. е.
Теорема 2. Пусть 
, , , — регулярная система, — семейство отрезков в таких, что 
и 
. Тогда преобразование Харди ограничено в пространстве .
Следующая теорема показывает, что ограничения на параметр 
в теоремах 1 
и 2 
необходимы.
Теорема 3. Пусть , тогда существует последовательность 
где 
— конечное подмножество , 
и функция 
такие, что 
.
Доказательство. Пусть 
— последовательность Шапиро:
Для этой последовательности справедлива оценка [4]
(2)
при 
и 
Рассмотрим ряд
(3)
Из оценки (2) следует
Отсюда по теореме Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, сумма является непрерывной, 1 — периодической функцией, которую обозначили через 
, значит . Коэффициенты Фурье 
Пусть 
— последовательность натуральных чисел таких, что
Через 
обозначим последовательность, где 
. Очевидно, что 
.
Покажем, что преобразование Харди 
не принадлежит пространству 
. Так как 
, то
Пусть 
Последовательность 
монотонно невозрастающая, следовательно, подпоследовательность 
тоже монотонно не возрастает. Отсюда из хорошо известного неравенства Харди вытекает, что
(4)
Из леммы Дьяченко следует, что 
Тогда из того, что 
имеем 
Учитывая соотношение (4) и неравенство Харди-Литлвуда, получим:
Список литературы
1. Мультипликативные преобразования типа Харди и Беллмана в пространствах Лоренца // Современные вопросы теории функции и функционального анализа. — Караганда, 2000. — С. 108–114.
2. О преобразовании Харди и Беллмана для ортогональных рядов Фурье // Матем. заметки. — 2001. Т. 70. — Вып. 4. — С. 638–640.
3. Hardy G. H. Notes on some points in the integral calculus, LXVI, The arithmetic mean of a Fourier constant // Messengers of Math. — 1958. — Vol. 58. — P. 50–52.
4. Brillhart J., Carlitz L. Note the Shapiro polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. — 1970. — Vol. 25. — P. 114–118.
