Комплекс задач по теме "Подобие треугольников»

Комплекс задач по теме "Подобие треугольников»

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Геометрические. ЕГЭ по математике предъявляет требования определенного уровня к «геометрической» культуре и подготовке выпускников, к умению логически мыслить, к знаниям методов решения задачи. В алгебре, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. В геометрии, как правило, алгоритмов нет. Тем не менее можно использовать некоторые общие положения и рекомендации, которые полезно соблюдать любому решающему геометрическую задачу (тем более при подготовке к ЕГЭ). К таким положениям можно отнести следующие:

1. Обучать учащихся технологии решения задачи, т. е. самостоятельному выполнению каждого из этапов процесса решения задачи.

2. Обучать решению геометрических задач через выделение ключевых задач.

3. Устанавливать связи между задачами, разрабатывать (составлять) комплекс задач.

Комплекс задач — это набор задач, который:

— имеет одинаковую основу;

— имеет последовательность, при которой каждая следующая задача обогащала бы опыт предыдущей;

— сформулирован таким образом, чтобы осуществлялся переход от одной задачи к другой.

Основой комплекса может быть:

— единая геометрическая конструкция;

— метод решения;

— единая тематика;

— теорема;

— ключевая задача;

— дополнительное построение и др.

Большую трудность у учащихся всегда вызывают задачи на применение подобия, поэтому предлагаю комплекс задач по теме «Подобие треугольников» (по материалам спецкурса для 10—11 классов).

Ключевые задачи.

1.

∆DCF∆BCA

DF || АВ

2.

1) ∆ADC∆ACB, ()

2) ∆BDC∆BCA, ()

3) ∆ADC∆CDB, ()

Следствия

AC2=AB∙BD

BC2=AB∙BD

CD2=AD∙BD

3.

∆BAO∆COD

4.

∆BOC∆DOA

Наиболее подробно представлю задачу №5 и комплекс задач, основой которого является данная задача (данная задача была представлена в 2004 г. на пробном ЕГЭ).

В остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному.

Доказательство:

1)  ∆BA1A∆BC1C по двум углам ( )

Значит, ; ; по свойству пропорции

2)  Рассмотрим: ∆A1ВС1 и ∆ABC

- общий, стороны, заключающие общий угол, пропорциональны.

Вывод: ∆BA1A∆BC1C по || признаку подобия.

Следствие:

Из подобия треугольников следует: ;

В комплекс входят задачи:

I уровень:

1. На отработку определения подобия в данной конструкции.

2. На отработку , - общий угол треугольников

3. , (взаимосвязь)

II уровень:

тот же тип задач, но конструкция завуалирована.

III уровень:

привлечение других фактов или теорий к заданной конструкции.

VI уровень:

контрпример (конструкция сходна, но теорема «не работает»)

I уровень:

1. В остроугольном — ∆АВС AA1 и CC1 высоты. АВ=15 см, ВС=12 см, АС=18 см, Л, С,=0,6 дм.

a) Найти ВА, и ВС,

b) Найти угол В.

2. В остроугольном ∆АВС AA1 и CC1 - высоты, .

а) Найти периметр ∆А1В1С1, если периметр равен 52 см

b) Найти площадь ∆АВС, если площадь ∆А1В1С1 17 см2.

II уровень:

1. В ∆MNK на стороне МК как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MN и NK в точках Е и F соответственно, .

Найти угол FEN.

Анализ ситуации и поиск решения.

1. Как связаны элементы фигур, данных в условии?

* сторона треугольника МК - диаметр окружности

* Е и F - общие точки сторон треугольника и окружности

* угол MKN треугольника - вписанный в окружность.

2. Какие дополнительные построения обычно выполняют для получения дополнительной информации?

* соединяем центр окружности с точками окружности или соединяем точки окружности (возможные предложения ОЕ и OF; MF, КЕ)

* какие при этом образовались фигуры, что о них известно? Как связаны элементы фигур с данными в условии?

3. Остановимся (в результате обсуждения) на ∆MFK

* — вписанный в окружность

* — вписанный в окружность, опирается на диаметр, значит, тогда в ∆MFK MF - высота.

4. Аналогично КЕ - высота ∆MFK.

Вывод: получили известную конструкцию: в остроугольном ∆MFK проведены две высоты, значит, по ключевой задаче, FE отсекает треугольник, подобный данному, т. е. ∆MFK∆FNE.

значит соответственные углы равны, т. е. Искомый угол 40°.

Ответ: 40°.

Задача 5.

Отрезок АВ - диаметр круга, а точка Р - вне его так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и В соответственно

1) Найти расстояние между С и В, если радиус окружности .

2) Найти площадь ∆ABP, если площадь ∆CDP равна

Решение:

1. Ситуация аналогична предыдущей задаче; в результате анализа приходим к выводу, что ∆ABP∆DPC. .

Пары сходственных элементов подобных треугольников неизвестны, но известен общий угол, поэтому

; ; ; .

; ; ; .

Ответ:

Задача 6.

АВ - диаметр круга, а точка Р вне его выбрана так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и D соответственно, причем CD делит ∆ABP на части, площади которых относятся как 1:3. Найти угол между АР и ВР (или угол, под которым виден диаметр круга из точки Р).

Решение:

Ситуация аналогична.

В результате анализа приходим к выводу, что ∆APB∆DPC. Т. к. отношение площадей и четырехугольника ACDB равно , то отношение площадей подобных треугольников равно . Задача сводится к нахождению общего угла подобных треугольников, значит ; ; , где — величина общего угла — АРВ. , искомый угол 60°.

Ответ: 60°.

III уровень.

Задача 7.

В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. АС=1. Угол ACF равен . Найти площадь круга, описанного около ∆FBD.

Решение:

1. По ключевой задаче ∆ABD∆DBF. (из прямоугольного ∆FBC)

2. По следствию из теоремы синусов , где R - радиус окружности, описанной около ∆ABC.

; .

3. , где r - радиус окружности, описанной около ∆FBD

; ; .

4. .

Ответ:

Задача 8.

В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. Периметры треугольников ABC и FBD соответственно равны 15 см и 9 см. Радиус окружности, описанной около AFBD, равен 1,8 см. Найти АС.

Задача 9.

В равнобедренном ∆ABС с основанием АС высота AF делит высоту BD на отрезки 40 см и 5 см. Найти площадь треугольника АОВ, где О — точка пересечения высот.

Конструкция сходна с ключевой задачей — в треугольнике проведены две высоты, однако в этой задаче данный «ключ» не работает.