Материалы к практикуму по физике

Практикум 15. Циклы. Цикл Карно. Энтропия.

Коэффициент полезного действия (КПД)

(1)

Коэффициентом преобразования холодильника (КПХ)

(2)

Коэффициентом использования энергии (КИЭ)

(3)

Коэффициент передачи теплоты (КПТ)

(4)

Энтропия

, (5)

(6)

Пример 15.1. Кпд паровой машины составляет 50% от кпд идеальной тепловой машины, которая работает по циклу Карно в том же интервале температур. Температура пара, поступающая из котла в паровую машину, К, температура конденсата К. Определить мощность паровой машины, если она за один час потребляет уголь массой 200 кг с теплотворной способностью 31 МДж/кг.

Решение

Найдем КПД паровой машины , , . С другой стороны , где , где с, а количество теплоты, в виде нагретого пара, переданное нагревателем за : , где . Тогда мощность паровой машины равняется Вт.

Ответ: кВт.

Пример 15.2. Некоторое количество идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изобар 12 и 34 при давлениях и и двух изотерм при температурах и . Докажите, что КПД этого цикла меньше чем у цикла Карно.

Решение

Каждая вершина цикла характеризуется макросостоянием , и . Вершина: 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - . КПД тепловой машины , полная работа за цикл , количество теплота переданное нагревателем рабочему телу (газ в цилиндре с подвижным поршнем) за цикл (на стадии сжатия газа теплота передается холодильнику). Работа на каждом участке цикла , , , . Итак, работа за цикл . Найдем таким же образом : и . КПД тепловой машины найдем из полученных заготовок

или . Второе слагаемое больше нуля, следовательно, КПД меньше КПД машины работающей по циклу Карно , что и требовалось доказать.

Ответ: .

Пример 15.3. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно в интервале температур от 250 до 310 К. Рабочее тело - азот, масса которого 0.2 кг. Найти количество теплоты , отбираемого от охлаждаемого тела, работу внешних сил за цикл и КПХ машины.

Решение

Обратный цикл Карно состоит из: 12 - изотермического расширения при температуре в тепловом контакте с охлаждаемым телом, при этом рабочим телом производится работа и отбирается теплоты от холодильника; 23 - адиабатического сжатия, при этом температура рабочего тела возрастает до , над рабочим телом совершается работа ; 34 - изотермического сжатия при температуре , при этом в теплообменнике выделяется теплоты и передается в термостат (комнатный воздух); 41 - адиабатического расширения, при этом температура понижается до , рабочее тело совершает работу . Выпишем формулы, описывающие этот цикл:

12: , ()

23: , ,

34: , ()

41: , ,

Полная работа за цикл: , , ,

Для цикла Карно известно, что , тогда работа . Найдем отношение объемов из условия задачи , а связан с уравнением Пуассона , тогда , ,

Тогда . Итак, полная работа за цикл равна = Дж, тогда работа внешних сил (компрессора) равна кДж, количество теплоты отнятой у охлаждаемого тела равна Дж, холодильный коэффициент .

Проверка: КПХ тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно, согласно (2), равен , что и требовалось показать.

Ответ: кДж, кДж, .

Пример 15.4. C помощью электрической плитки мощностью 1 кВт в комнате поддерживается температура 290 К при температуре наружного воздуха 250 К. Какая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью идеальной тепловой машины?

Решение

Идеальная машина, работающая по обратному циклу Карно, есть тепловой насос, который отбирает теплоту у внешней среды и при помощи компрессора передает теплоту комнатному воздуху. КПТ, согласно (4), равен . Количество энергии, поступающее в комнату за время с, есть , тогда требуемую мощность компрессора, производящего механическую работу по перекачке теплоносителя в комнату, определим из (4) и . Тогда Вт

Ответ: Вт.

Пример 15.5. Смешали воду массой 5 кг при температуре 280 К с водой массой 8 кг при температуре 350 К. Найти: 1) температуру смеси; 2) изменении энтропии, происходящее при смешивании. Теплоемкость воды Дж/кгК.

Решение

1) Известный писатель Жюль Верн в романе «80 дней вокруг света» поставил задачу перед Паспарту, пришедшему наниматься на работу – приготовить воду строго определенной температуры. Паспарту эту задачку решил, а Вам слабо?

Решим подобную задачку. Количество теплоты, которым обмениваются эти части и численно равны , т. е. , тогда , , где . Подставляем численные значения в расчетную формулу, получаем К. Так, Паспарту должен иметь две части воды, одна часть воды при температуре меньшей требуемой, а вторая – большей температуры, чем требуемая.

2) Найдем изменение энтропии при смешивании двух частей воды, для этого используем (5) и учитывая, что изменение энтропии при смешивании равно сумме изменения энтропий смешиваемых частей , тогда

,

, Дж/К

Ответ: 1) К; 2) Дж/К.

Пример 15.6. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты , если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в раза, а давление уменьшилось в раза.

Решение

Энтропия является функцией состояния, следовательно, неважно при помощи каких процессов система перешла из начального состояния 1 в конечное состояние 2, тогда мы разобьем весь процесс на 13 – изохорический процесс и 32 – изобарический процесс, как показано на рисунке. При помощи (5) найдем изменение энтропии

или

На участке 13: и , на участке 32: и . Учитывая, что показатель адиабаты и , получаем для изменения энтропии и Дж/К

Ответ: Дж/К.

Самостоятельная аудиторная работа.

А15.1. Паровая машина мощности 14.7 кВт потребляет за один час работы 8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания Дж/кг. Температура котла 473 К, холодильника 331 К. Найти КПД этой машины и сравнить его с КПД тепловой машины работающей по циклу Карно (20%, 30%).

А15.2. Домашний холодильник потребляет из электрической сети 200 Вт. Температура окружающей среды (воздух в комнате) равно 293 К. Определите температуру в камере холодильника, если количество отведенного тепла в 5 раз превышает количество затраченной энергии. Холодильник работает по циклу Карно (244 К).

А15.3. Масса водорода равная 6.6 г изобарически расширяется от до . Найти изменение энтропии при этом расширении. (66.5 Дж/К)

А15.4. Идеальный газ, расширяясь изотермически при температуре 400К, совершает работу 800 Дж. Что происходит при этом с энтропией?

А15.5. Некоторое количество идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изохор 12 и 34 при объемах и и двух изотерм при температурах и . Докажите, что КПД этого цикла меньше чем у цикла Карно.

Задание на дом:

В15.1. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества 1 моль и находящейся под давлением 0.1 МПа при температуре 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления 0.2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема. Определить температуру для характерных точек цикла и термический КПД цикла.

В15.2. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД цикла.

В15.3. Наименьший объем газа, совершающего цикл Карно, равен 153 л. Определить наибольший объем газа, если объем газа в конце изотермического расширения равен 600 л, а объем газа в конце изотермического сжатия равен 189 л.

В15.4. В результате изохорного нагревания водорода массой 1 г давление газа увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии газа.

В15.5. Кислород массой 2 кг увеличил свой объем в пять раз: а) изотермически, б) адиабатически. Найти изменение энтропии в каждом из указанных процессов.

Ответы

А15.1 , . А15.2. К. А15.3. Дж/К. А15.4. Энтропия увеличивается на Дж/К.

В15.1 К, . В15.2. . В15.3. л. В15.4. Дж/К. А15.5. а) Дж/К, б) .

Литература

1.  , Воробьев по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.

2.  Савельев общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1986. – 432 с.

3.  Сивухин курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1983. -688 с.