Всероссийский фестиваль педагогического творчества (2014 – 2015 учебный год)

Всероссийский фестиваль

педагогического творчества

(2014 – 2015 учебный год)

Номинация:

Педагогические идеи и технологии: среднее образование.

Название работы:

Элективный курс «Комбинаторика и теория вероятностей» 9 класс

Автор:

Место выполнения работы:

МОУ «СОШ №4», г. Воскресенск.

Элективный курс

«Комбинаторика и теория вероятностей» 9 класс

Пояснительная записка

Комбинаторика представляет собой своеобразный раздел математики, нужный для успешного решения вопросов алгебры и других математических дисциплин. Однако наибольшее применение этого раздела находит себе место в теории вероятностей, науке, изучающей законы массовых явлений, каждое из которых в отдельности определяется условиями, не поддающимися учёту, и которые называются «случайными». Теория вероятностей давно уже приобрела столь большое значение, что много раз поднимался вопрос о включении её элементов в курс математики средней школы.

Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся не только 9 классов, которым будет интересна комбинаторика и её приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с её методами и идеями (или самостоятельно, или под руководством учителя).

Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Выбрав его, учащиеся за пол года (16 часов, по 1 часу в неделю) пройдут путь от знакомства до применения знаний и умений при решении задач интеграции.

Изучение комбинаторики и элементов теории вероятностей сейчас наиболее актуально, так как задачи по данной теме включены в ОГЭ за 9 класс, а так такового изучения темы ещё не было отработано. Современный учитель математики пока делает ещё неуверенные шаги по пути теории вероятностей.

Курс разработан следующим образом. Учащиеся на первых уроках знако­мятся на уровне фор­мулировок и иллюстраций с поняти­ями комбинаторики, ко­торые закрепляются при ре­шении задач. В конце каждого заня­тия для работы дома предлагается несколько заданий, часть из них име­ет одинаковое решение с классны­ми задачами, а одна или две требу­ют понимания изложенного матери­ала. Таким образом, достигается дифференциация учащихся. После изло­жения всего материала предла­гаются уроки решения задач по всей теме, затем дифференцирован­ное домашнее задание (по группам). Завершает тему зачетный урок, на котором вновь каждый учащийся в составе группы, равного с ним уров­ня усвоения материала, получает индивидуальное задание. Обязательно контроли­руется решение домашних задач.

Основной упор де­лается не на изложение теоретического материала (он для боль­шей части учащихся, посещающих курс по выбору, очень труден для по­нимания и усвоения), а на форми­ро­вание навыков решения комбинатор­ных задач простейшего уровня и раз­витие ло­гического мышления. В данном курсе не будут излагаться строгие доказательства вводимых формул. Предполагается, что «прав­доподобные рассуждения» и аналогии являются достаточно убедительными и будут легче восприняты. Строгие до­казатель­ства (если они окажутся не­обходимыми) лучше отложить для ин­дивидуальной ра­боты с одаренными учащимися. Основной методический прием заключается в ис­пользовании задач для выяснения математической сути в рассматриваемых ситуа­циях.

Чтобы обеспечить наибольшую эффективность работы, необходимо:

1)  обеспечить большую сознательность вывода каждой формулы;

2)  подчеркнуть, что перестановки, размещения, сочетания не исчерпывают собой все виды соединений, а только являются простейшими и важнейшими из них;

3)  давать наряду с задачами-примерами на применение выведенных формул и задачи в собственном смысле слова, требующие самостоятельного размышления.

Цели и задачи курса:

1) формирование специального типа мышления — комбинаторного;

2) формирование у учащихся видов деятельности, связанных с пере­бором и подсчетом числа конфигураций элементов, удовлетворяющих определенным условиям;

3) повышение интеллекта учащихся;

4) привитие профессионального интереса к занятиям комбинаторики как науки;

5) расширение кругозора учащихся;

6) углублённое изучение школьного курса математики.

Знания, умения и навыки при изучении элективного курса «Комбинаторика и теория вероятностей».

Учащиеся должны знать:

-  чем занимается комбинаторика и теория вероятностей;

-  чем обусловлено появление комбинаторики и теории вероятностей;

-  этапы их развития;

-  каковы основные проблемы комбинаторики и теории вероятностей;

-  понимать алгоритмы решения;

-  выводить формулу для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний.

Учащиеся должны уметь:

-  вывести формулы классической комбинаторики;

-  решать простейшие задачи с помощью этих формул;

-  решать простейшие задачи на классическое и геометрическое определения вероятности.

Компетенции при изучении курса.

Познавательные.

- Умение самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

- Участие в организации и проведении учебно-исследовательской работы. Самостоятельное создание алгоритмов познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера.

Информационные.

- Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа.

- Извлечение необходимой информации из текстов, таблиц, графиков.

- Отделение основной информации от второстепенной.

- Развернутое обоснование суждения, приведение обоснования (доказательства), примеров.

Коммуникативные.

- Владение навыками организации и участия в коллективной деятельности; восприятие иных мнений, объективное определение своего вклада в общий результат.

- Оценивание своего поведения в группе, выполнение требований в совместной практической деятельности.

- Умение отстаивать свою точку зрения.

- Развитие готовности к сотрудничеству.

Формы и методы обучения.

1)  Использование лекции учителя (если материал неизвестен школьникам), которая сопровождается записью учащимися основных её положений. Полезно заранее записать план сообщения учителя.

2)  При знакомстве с материалом, частично известным, используется составление конспекта, умение собирать материал по теме из печатных источников (по указанию учителя).

3)  Самостоятельная работа по опорным конспектам при изучении нового материала.

4)  Для закрепления новых знаний используются такие формы работы:

-  дифференцированное домашнее задание;

-  толкование новых терминов.

5)  При повторении материала использовать групповую работу по интересам, индивидуальную повышенной сложности.

6)  Тестирование (задания для тестирования давать дифференцированно).

Содержание курса (16 ч.)

Раздел I . Комбинаторика (8ч)

1.  Комбинаторика в древности (1ч)

Введение. С чего начиналась теория вероятностей… Великие учёные о теории вероятностей.

2.  Математические игры и развлечения (1ч)

Игра в кости. Игры на деление ставок. Игры с выбором при помощи «считалки» и при помощи короткой спички. Азартные игры.

3.  Перестановки (1ч)

Определение. Вывод формулы. Решение задач с помощью формулы перестановок.

4.  Размещения (1ч)

Определение. Вывод формулы. Решение задач с использованием формулы размещений.

5.  Сочетания (1ч)

Определение: сочетания с повторением, сочетания без повторения. Выводы формул. Решение задач с использованием формул сочетаний.

6.  Бином Ньютона. Треугольник Паскаля (1ч)

Определение бинома Ньютона. Треугольник Паскаля. Связь треугольника Паскаля и бинома Ньютона. Треугольник и пирамида Серпинского. Решение задач при помощи треугольника Паскаля.

7.  Решение задач (1ч)

Обобщающий урок. Решение комбинированных задач.

8.  Зачётная работа (1ч)

Раздел II . Теория вероятностей (8ч)

1.  Случайные величины (1ч)

Введение понятий: случайное событие, частота события, относительная частота случайного события, статистическое определение вероятности. Отработка оперирования данными понятиями на примере решения задач.

2.  Классическое определение вероятности (1ч)

Введение понятий: равновозможный исход, благоприятный исход, вероятность события. Классическое определение вероятности. Решение задач.

3.  Геометрическое определение вероятности (1ч)

Определение. Решение задач.

4.  Решение задач (1ч)

Решение задач комбинированного типа.

5.  Сложение и умножение вероятностей (1ч)

Рассмотрение примеров. Теоремы о слоении и умножении вероятностей. Решение задач.

6.  Решение задач (2ч)

Решение задач комбинированного типа. Повторение пройденного материала.

7. Зачётная работа (1ч)

Учебно-тематический план.

№ урока	Содержание учебного материала	Количество часов	Дата проведения
1 четверть (8 часов)
Комбинаторика.
1	1	Комбинаторика в древности.	1
2	2	Математические игры и развлечения.	1
3	3	Перестановки.	1
4	4	Размещения.	1
5	5	Сочетания.	1
6	6	Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.	1
7	7	Решение задач.	1
8	8	Зачётная работа.
2 четверть (8 часов)
9	1	Случайные величины.	1
10	2	Классическое определение вероятности.	1
11	3	Геометрическое определение вероятности.	1
12	4	Решение задач.	1
13	5	Сложение и умножение вероятностей.	1
14-15	6-7	Решение задач.	2
16	8	Зачётная работа.	1

Формы и методы контроля.

Контрольные задания предназначаются для выявления:

-  знания учащимися определений и формул;

-  умения делать выводы, находить нужное решение;

-  умения работать со справочной литературой;

-  умения решать нестандартные задачи.

В связи с этим используются следующие виды проверки и контроля знаний:

-  нахождение изучаемого материала в данном тексте;

-  подбор примеров по памяти;

-  определение классической комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания);

-  решение задач разного типа;

-  тестирование различного уровня сложности;

-  зачётные работы.

Способы записи выполняемой работы:

-  составление тезисов;

-  конспектирование;

-  составление таблиц;

-  классификация комбинаторных задач.

В результате курса учащиеся смогут:

—находить количество вариантов выбора некото­рого количества элементов из заданной совокупности, если выбор осуществляется с возвращением или без возвращения, если результаты выбора зависят от порядка извлечения элементов или не зависят;

—определять количество способов разбиения со­вокупности разных или одинаковых элементов на заданное число групп;

—использовать простейшие комбинаторные схе­мы для вычисления вероятностей событий в клас­сической модели;

—применять основные комбинаторные идеи для моделирования реальных процессов и явлений.

Оценивание результата:

Отметка «5» ставится, если:

·  задание выполнено полностью;

·  в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов или ошибок;

·  в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

·  задание выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

·  допущена одна ошибка или два - три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

·  допущены более одной ошибки или более двух - трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

·  допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

·  работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Список литературы для учителя:

1. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / , ; под ред. . – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2006.

2. Афанасьев, В. В., Суворова, М. А. «Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8 – 11 классов» - Ярославль: Академия развития, 2006.

3. Журналы «Математика в школе» №6, №7 2004

4. Письменный, Д. Т. «Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам» - М.: Айрис-пресс, 2008.

Список литературы для учеников:

1. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / , ; под ред. . – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2006.

2. Афанасьев, В. В., Суворова, М. А. «Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8 – 11 классов» - Ярославль: Академия развития, 2006.

Приложения:

Примерные виды задач, которые ребёнок должен научиться делать:

1. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

3. Сколько различных четырёхзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

4. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

А) Олег должен находится в конце ряда

Б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда

В) Олег и Игорь должны стоять рядом.

5. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

6. На соревнованиях по лёгкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них пробежит в эстафете 4 на 100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

7. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля.

8. Из 15 членов туристической группы надо выбрать тр1х дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

9. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

А) словарь нужен ему обязательно

Б) словарь ему не нужен?

10. На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого стрелка оказалась равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать от этого стрелка на соревнованиях, если каждый участник произведёт 20 выстрелов?

11. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирают по жребию четырёх дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

12. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11?

13. Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находятся 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется:

А) красным

Б) золотым

В) красным или золотым?

14. В непрозрачном пакете лежат 9 жетонов номерами 1, 2, 3, …, 9. Из пакета наугад вынимают один жетон, записывают его номер и жетон возвращают в пакет. Затем опять вынимают жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами?

Элементы урока (теоретический материал) на тему:

Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

(графический материал см. презентацию)

В настоящее время проводится очень много голосований по вопросу о том, кого вы считаете самым значительным ученым за прошедшие 2000 лет. И, естественно, среди самых популярных ученых мы по праву видим имя Блеза Паскаля (1623-1662).

Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления (паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Работы Паскаля охватывают самые разные области.

Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является трактат об "арифметическом треугольнике", образованном биномиальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.

Проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.

Запишем строки Паскаля, начиная с нулевой, друг под другом, так чтобы каждое число каждой строки оказалось между теми числами предыдущей строки, суммой которых оно является. Мы получили бесконечную таблицу, называемую арифметическим треугольником Паскаля, а также просто арифметическим треугольником, или треугольником Паскаля. Вся таблица в целом как бы заполняет внутренность некоторого угла; любое её начало, образованное 0-й, 1-й,…, п-ой строками, имеет форму равнобедренного треугольника.

Вследствие симметрии строк Паскаля, треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы.

Поскольку при переходе к каждой следующей строке число членов этой строки возрастает на единицу, то в п-ой строке Паскаля будет п+1 число. Не производя никаких вычислений, можно утверждать, что сумма чисел п-ой строки Паскаля равна (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна );

Треугольник Паскаля при расположении членов, рассмотренном выше, естественно называть треугольником Паскаля в равнобедренной форме, или равнобедренным треугольником Паскаля. Часто бывает удобным расположить члены треугольника несколько иначе, чтобы каждое начало имело форму прямоугольного треугольника. Такую бесконечную таблицу естественно называть треугольником Паскаля в прямоугольной форме, или просто прямоугольным треугольником Паскаля

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего «треугольника».

Будем исходить из того расположения «треугольника» на плоскости, которое было указано Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.

Свойство 1.

Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А.

Свойство 2.

Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А.

Свойство 3.

Каждое число А в таблице, будучи уменьшено на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальным и горизонтальным рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

При помощи операции Паскаля можно выразить так называемые биномиальные коэффициенты, которые определяют следующим образом.

Возьмём бином и начнём возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

и т. д.

Результат возведения бинома в степень п (где п – целое неотрицательное число) можно записать в виде расположенного по возрастающим степеням буквы х многочлена с числовыми коэффициентами, как в соотношении

Мы видим, что для показателей строки биномиальных коэффициентов совпадают соответственно с 0-й, 1-й, 2-й и 3-й строками треугольника Паскаля. Так что фактически запоминать формулы суммы в какой-либо степени нам и не требуется, достаточно построить треугольник Паскаля, что теперь совершенно элементарно, найти строку, соответствующую нужной степени, и расставить коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики, информатики и других науках.

Теперь, наконец-то, переходим к самому интересному для нас удивительному свойству треугольника Паскаля. Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо-удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Узоры эти таят в себе много неожиданностей. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел. У вершины треугольника Паскаля "притаился" треугольник состоящий из одной - единственной точки, затем идут треугольники, содержащие 6, 28, 120, 496, ... точек. Такое изображение треугольника называют «треугольником Серпинского».

Но самую красивую иллюстрацию, показывающую на сколько же гармонична математика, дают «объёмные треугольники Серпинского», называемые пирамидами Серпинского. Они строятся с помощью полной аналогии как и предыдущий случай, только в трёхмерном пространстве.

Пример задачи, решаемой с помощью треугольника Паскаля:

Сколько нечётных чисел содержится в 64-й строке треугольника Паскаля?

Данная задача решается таким образом: всего чисел в этой строчке 63 без учёта единиц. А что такое 64? то есть все числа в этой строке нечётные. То же утверждение будет справедливым и для любой другой строки, номер которой совпадает с одной из степеней числа 2. (см. рис)