Ускорение колеблющейся точки

§20. Ускорение колеблющейся точки

Мы убедились в том, что по уравнению движения тела (зависимости координаты от времени) можно определить зависимость скорости от времени. Попробуем теперь получить зависимость ускорения от времени двумя способами - динамическим и кинематическим.

Динамический способ нахождения a(t)

Динамический способ нахождения максимальной скорости, хотя мы применили его ошибочно, уже подвел нас к решению этой задачи.

По закону Гука на тело со стороны пружины действует сила:

Поскольку силой трения мы пренебрегаем, а сила тяжести и сила нормальной реакции опоры компенсируют друг друга, второй закон Ньютона дает формулу зависимости ускорения тела от координаты:

В предыдущем параграфе мы нашли циклическую частоту колебаний, это позволяет нам записать:

Выберем начальные условия удобным образом - так, чтобы уравнение гармонического колебания имело наиболее простой вид. Зная зависимость координаты колеблющегося тела от времени x(t), мы можем записать зависимость его скорости от времени u(t) и ускорения от времени a(t):

Запишите все три уравнения, применив их к нашей конкретной задаче (k = 3 Н/м, m = 0,05 м, A = 0,1 м, T = 0,8 с). Постройте в тетради графики x(t), u(t) и a(t). Покажите, что колебания координаты, скорости и ускорения сдвинуты по фазе. Сравните свое решение с графиками, показанными на рисунке. Так, в т. 1 тело максимально удалено от положения равновесия, при этом скорость равна нулю, а сила упругости и, соответственно, ускорение принимают максимальное значение (но направлены они в противоположную сторону от отклонения). Координата, сила и ускорение одновременно принимают нулевое значение в т. 0, но скорость при этом максимальна. При движении из т. 0 в т. 2 модуль скорости уменьшается до нуля, а ускорение положительно и возрастает от нуля до максимального значения.

Кинематический способ нахождения a(t)

Еще раз обратимся к аналогии с окружностью. Нет никаких оснований считать, что таким же способом мы не сможем получить зависимость ускорения от времени.

С помощью рис. а докажите, что:

ax = - am ∙ sinwt.

Нам необходимо найти амплитудное значение ускорения. Обратимся вновь к равномерному движению по окружности и попытаемся найти центростремительное ускорение (рис. б). Ускорение . Рассмотрим малый промежуток времени Dt (подумайте, почему).

1 способ

Рассмотрим подобные треугольники

(докажите их подобие):

. Здесь D – это отрезок хорды, который приблизительно равен длине дуги, опирающейся на малый угол Dj = wDt.

Используем то, что D = uDt, получим:

Воспользуемся аналогией и перейдем к гармоническим колебаниям: центростремительное ускорение и есть максимальное ускорение шарика, радиус «превращается» в амплитуду, линейная скорость – в обычную скорость шарика, угловая скорость – в циклическую частоту. В результате получаем уравнение:

Это уравнение справедливо для любого гармонического колебания, независимо от его физического происхождения (конечно, при условии, что ).

Воспользовавшись вторым законом Ньютона, мы без труда найдем зависимость силы, действующей на колеблющееся тело, от координаты:

2 способ

Рассмотрим треугольник (см. рис.). Он равнобедренный, высота в нем является биссектрисой и медианой. Следовательно, Du = 2 ∙ u ∙ sin(Dj/2).

Так как угол Dj - малый, выполняется приближенное равенство:

Объясните схему:

С помощью аналогии гармонического колебания и равномерного движения по окружности проверьте и объясните формулы: