Задача

8 класс

Задача 1. Найдите коэффициенты при n21 и n23 после раскрытия скобок (и приведения подобных членов) в выражении (n13 + n4 + 1)16.

Решение. Воспользуемся общей формулой бинома Ньютона, согласно которой

Получаем:

.

Заметим, что перебирая возможные степени числа n в соответствии с , подставляя целые и неотрицательные значения k1 и k2, мы не можем получить степень, равную 23. n21 возможно только при , , Тогда коэффициент перед n21 будет равен

Задача 2. Антону необходимо заполнить таблицу 10×10 целыми числами таким образом, чтобы в каждой строке сумма чисел была положительной, а в каждом столбце – отрицательной. Справится ли Антон с поставленной задачей и если справится, то каким образом?

Решение. Пусть aij – элемент таблицы на пересечении i-й строки и j-о столбца. Тогда сумму элементов данной таблицы можно представить следующим образом:

(1)

Заметим, что – сумма элементов в i-й строке таблицы, а – сумма элементов j-м столбце. Чтобы заполнить таблицу требуемым образом Антону нужно подобрать числа таким образом, чтобы , а При этом получаем , что противоречит (1).

Задача 3. Найдите сумму коэффициентов многочлена (2x3 – 4x2 + x)2016.

Решение. Воспользуемся тем свойством, что сумма коэффициентов многочлена равняется .

.

Задача 4. Докажите, что n2 + 6n + 8 не делиться на n + 3 при любом натуральном n.

Решение. Заметим, что . Таким образом, при делении n2 + 6n + 8 на n + 3 при любом натуральном n будет получаться в остатке n + 2.

Задача 5. На ежегодном всемирном шахматном турнире 2016 шахматистов решили выяснить, кто какие дебюты предпочитает. Оказалось, что каждый из шахматистов предпочитает не менее одного из следующих дебютов: Голландский гамбит (гг), Будапештский гамбит (бг), Сицилийская защита (сз), Итальянская партия (ип). Все остальные дебюты сообщество шахматистов игнорировало. 2000 спортсменов используют хотя бы один из дебютов: бг, гг, сз. 1880 шахматистов – хотя бы один дебютов: гг, бг, ип. Также кто-то заметил, что игроков, предпочитающих ровно 1 дебют в играх, «всего 200, плюс – минус 1, человек». Оказалось, что на мероприятии не было шахматистов, которые предпочитали бы ровно два каких-нибудь дебюта. Из всех шахматистов, использующих более двух типов дебютов в своих играх, не оказалось тех, кто предпочитал бы гг и бг одновременно. Более того, из всех игроков, отдающих предпочтение нескольким способам начала шахматной партии, группа шахматистов, владеющая гг, была в 4 раз меньше, чем группа, использующая бг. По итогам турнира было 9 победителей, каждый из которых владел гг, и не использовал ип (среди проигравших шахматистов, спортсменов предпочитающих такие же дебюты, не было). Сколько спортсменов предпочитает использовать Будапештский гамбит в своих партиях?

Решение. Из того, что 2000 спортсменов используют хотя бы один из дебютов из бг, гг, сз следует, что остальные 16 шахматистов используют только ип. Аналогично получаем, что 136 шахматистов используют только сз в своих партиях. Из условия о том, что одно-дебютных игроков от 199 до 201 (включительно) получаем, что только гг и только бг суммарно использует либо 47, либо 48, либо 49 шахматистов. Много-дебютных игроков, таким образом, будет либо 1815, либо 1816, либо 1817. Из условий о том, что отсутствуют шахматисты, практикующие ровно два дебюта, и отсутствуют шахматисты, владеющие сразу гг и бг, следует, что много-дебютные спортсмены представлены лишь двумя группами: группой бг, сз, ип и группой гг, сз, ип. Из условия о том, что группа гг, сз, ип в 4 раза больше бг, сз, ип следует, что число всех много-дебютных шахматистов кратно 5 – из ранее полученных вариантов этому условию удовлетворяет лишь 1815. Таким образом, группа бг, сз, ип равняется 363, а группа гг, сз, ип – 1452. Суммарное число шахматистов, владеющих только гг и только бг равняется 49. Из условия о том, что владеющих гг, и одновременно не использующих ип было ровно 9, следует, что всего 9 шахматистов владеют только гг и 40 шахматистов владеют только бг. Количество спортсменов, играющих Будапештский гамбит, равняется сумме групп бг и бг, сз, ип, равняется 40 + 363 = 403.