Некоторые виды творческих работ на уроках стереометрии в школе

Некоторые виды творческих работ на уроках стереометрии в школе.

Для современной школы исключительно важной является проблема развития творческих способностей учащихся. Этой проблемой занимались и продолжают заниматься ряд отечественных и зарубежных ученых. Однако в практической работе сдвиги в направлении решения этой проблемы еще очень незначительны.

В настоящее время всем очевидна необходимость подготовки учащихся к творческой деятельности. В связи с этим повышается роль школы в воспитании активных, инициативных, творчески мыслящих людей.

Развитие творческих возможностей учащихся важно на всех этапах школьного обучения, но особое значение имеет формирование творчества в младшем школьном возрасте. Согласно мысли , обучение в школе выдвигает творчество в центр сознательной деятельности ребенка.

Исследованием этого вопроса занимались многие педагоги и психологи, такие как Ж. Пиаже, , они углубили теорию развития творчества и научно обосновали процесс решения творческих задач, охарактеризовали условия, способствующие и препятствующие нахождению правильного решения.

Творчество является высшим познавательным процессом. Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Творчество порождает такой результат, какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует.

Ни для кого не секрет, что для успешного усвоения знаний по предмету обязательным условием является не только отработка базовых умений и навыков, но и развитие интереса к предмету. Для этого в своей работе я использую различные творческие работы. Они проводятся в течение всего учебного процесса как при изучении нового материала, при закреплении, отработке навыков, так и на заключительных этапах прохождения темы, главы или раздела программы. Работы проводятся как по алгебре так и по геометрии.

Приведу лишь несколько видов творческих работ.

На основе базовых знаний ученики придумывают какие-либо задания для сверстников. Например, учителя математики знают насколько тяжело идет усвоение стереометрии, особенно на начальном этапе. Современные дети, увлекающиеся компьютером, мало читающие, плохо говорят, а доказывают, логично рассуждают еще хуже. При прохождении первой главы в теме «Основные понятия и аксиомы стереометрии» предлагаю ученикам подготовить вопросы на «Верно ли, что…»Вот что придумывают ученики.

Тексты вопросов и доказательства оставляю без исправлений.

1.  Верно ли, что точка P, лежащая между точками A и B, прямой a, лежит в той же плоскости, что и точки A и B?

Доказательство:

Т. к. точка A и точка B, прямой a, принадлежат некой плоскости &, следовательно, все точки этой прямой лежат в данной плоскости α(по второй аксиоме), т. к. точка P принадлежит прямой a, то эта точка P лежит в той же плоскости α , что и точка A, что и требовалось доказать.

2. Верно ли, что средняя линия трапеции лежит только в той плоскости, что и сама трапеция? (нет)

Доказательство:

Через прямую MN можно провести множество плоскостей, а через трапецию ABCD только одну (т. к. трапеция – плоскостная фигура). Докажем, что прямая MN может лежать не только в плоскости трапеции ABCD.

Трапеция ABCD лежит в некой плоскости α. Предположим, что прямая MN лежит и в плоскости α и в некой плоскости β, отличной от плоскости α.

§  точка M и точка N лежат на прямых AB и CD соответственно. Т. к. точки A и B лежат в плоскости α, то прямая AB и точка M расположены в этой же плоскости α (по 2 акс.). Аналогично, точка N расположена в плоскости α, следовательно, прямая MN, лежит в плоскости α.

§  известно, что через прямую можно провести множество плоскостей; проведем через прямую MN плоскость β, отличную от α, так, что точки M и N лежат в этой плоскости β. Т. к. трапеция – плоскостная фигура, то трапеция ABCD лежит только в плоскости α, значит, трапеция ABCD не лежит в плоскости β.

§  получим, что прямая MN лежит не только в плоскости трапеции, но и в плоскости β, отличной от α, следовательно, наше предположение верно, отсюда, линия трапеции (каковой MN является по условию задачи) лежит не только в той плоскости, что и сама трапеция, ч. т.д.

 

3. Верно ли, что радиус окружности лежит в той же плоскости, что и три ее любые точки? (да).

Доказательство:

§  Возьмем любые три точки A, B, C окружности с центром в точке O. Эта окружность лежит в некой плоскости α. Точки A, B, C не могут лежать на одной прямой, так как принадлежат одной окружности, следовательно, точки A, B, C единственным образом определяют плоскость (по 1 акс.) и лежат в плоскости данной окружности (плоскости α)

§  Обозначим точкой D точку касания радиуса r с окружностью. Точка D принадлежит окружности, поэтому лежит в плоскости этой окружности. Точка O лежит в одной плоскости с окружностью, так как является ее центром (окружность – плоскостная фигура, то есть все точки окружности расположены в одной плоскости). Так как точки O и D лежат в плоскости α (плоскости окружности), то прямая OD лежит в этой же плоскости α (по 2 акс.). Так как r равен OD, то радиус окружности лежит в плоскости α.

§  Т. к. произвольные точки A, B, C окружности с центром в точке O и радиус этой окружности лежат в одной плоскости, то радиус окружности лежит в одной плоскости, что и три ее любые точки, следовательно, утверждение верно, ч. т.д.

 

4.  Верно ли, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника может находиться в плоскости, отличной от плоскости треугольника? (Да).

Доказательство:

Через прямую можно провести множество плоскостей, а треугольник – плоскостная фигура, поэтому может лежать только в одной плоскости. Естественно, что средняя линия треугольника расположена в плоскости треугольника (т. к. точки A, B, C расположены в некой плоскости α, то AB, BC, AC принадлежат этой же плоскости (по 2 акс.), а т. к. точка P и L, расположены на прямых AB, BC соответственно, то точки P и L и прямая PL лежат в плоскости α (по 2 акс.)

Разумеется, через прямую PL можно провести плоскость β, отличную от плоскости α, что точки P и L будут расположены в плоскости α; треугольник ABC лежит только в плоскости α, поэтому он не расположен в плоскости β; следовательно, прямая, содержащая среднюю линию треугольника может находиться в плоскости, отличной от плоскости треугольника, значит, утверждение верно, ч. т.д.

 

5.  Верно ли, что параллелограмм лежит в данной плоскости, если одна из его диагоналей лежит в этой плоскости? (Нет).

Доказательство:

AC лежит в некой плоскости α; допустим, что параллелограмм лежит в плоскости α, тогда точки A, B, C, D и прямые AB, BC, CD, AD лежат в этой плоскости (по 2 акс.), следовательно, такое возможно.

Но если диагональ AC лежит в некой плоскости β, отличной от плоскости параллелограмма ABCD (плоскости α), тогда параллелограмм ABCD не лежит в плоскости β, т. к. параллелограмм ABCD может быть расположен лишь в одной плоскости (в данном случае в плоскости α). Следовательно, параллелограмм не лежит в некой плоскости, в которой расположена его диагональ, следовательно, утверждение неверно, ч. т.д.

6.  Верно ли, что квадрат лежит в одной и той же плоскости с окружностью, если эта окружность вписана в данный квадрат? (Да).

Доказательство:

Т. к. окружность с центром в точке E вписана в квадрат ABCD, то существует 4 точки окружности, лежащие в некой плоскости α. Т. к. окружность – плоскостная фигура, то достаточно иметь три точки окружности (по 1 акс., т. к. три любые точки окружности не лежат на одной прямой), чтобы считать окружность лежащей в ней, ч. т.д.

 

7.  Верно ли, что две плоскости могут иметь ограниченное количество общих точек? (Н).

Доказательство:

Плоскости следует рассматривать бесконечными по всем направлениям, поэтому (по 3 акс.) плоскости, имеющие одну общую точку, имеют общую прямую, следовательно 2 плоскости не могут иметь ограниченное количество общих точек.

8.  Верно ли, что прямая лежит в данной плоскости, если одна точка этой прямой лежит в данной плоскости? (Н).

Доказательство:

Прямая может пересекать заданную плоскость.

9.  Верно ли, что треугольник, лежащий в данной плоскости, лежит в одной плоскости с точкой, которая расположена на одинаковом расстоянии от вершин треугольника? (Н).

Доказательство:

Точка, которая равно удалена от сторон треугольника может лежать в совершенно другой плоскости (см. рис.)

 

10.  Верно ли, что два треугольника лежат в одной плоскости, если они имеют две общие вершины? (Н).

Доказательство:

Две общие вершины принадлежат одной стороне каждого из треугольников, и вовсе не обязательно, что треугольники лежат в одной плоскости.

Это конечно не все тексты работ, а отобранные учениками, по их мнению, наиболее удачные.

У многих учащихся слабо развито пространственное воображение, что затрудняет решение стереометрических задач. Для того чтобы ликвидировать этот недостаток провожу творческие работы следующего характера: по тексту задачи ребята делают модели, что позволяет «увидеть» задачу, а потом прошу по модели составить условие своей задачи, иногда у учеников получаются задачи гораздо интереснее оригинала. В продолжении этой работы при изучении темы «Многогранники» ребята делают модели многогранников. Эта работа не только развивает пространственное воображение, но и приучает к аккуратности, учит читать чертежи, развивает некоторые инженерные способности.

Важной частью обучения является, как мне кажется, научить учащихся работать с научной литературой, поэтому при подготовке к семинарам по различным темам даются задания: подготовить историческую справку, подобрать нестандартные задачи по теме, разработать какой-нибудь раздел темы. В качестве примера можно привести тему, которая, с моей точки зрения, наиболее интересна и важна в курсе стереометрии. Тема эта «Комбинации многогранников». Задачи из этой темы очень часто используются при составлении задач вступительных экзаменов в ВУЗы. Тему разбиваю на несколько подтем, ребят на несколько групп, каждая из которых готовит свое сообщение, например, темы: «Пирамида и шар», «Призма и шар», «Цилиндр, конус и шар», «Пирамида и конус» и т. д. группа готовит теорию, подбирает задачи, задача учителя подсказать литературу, если ученики не находят ее сами, дать консультацию. Сообщение ребята готовят в электронном виде и потом представляют в виде презентации. Получается очень интересно, содержательно, полезно и учителю и ученикам, которые готовят выступление и которые слушают. После выступлений подводятся итоги, ученики оценивают выступление, делают замечания, выставляют свои оценки.

В результате такой работы у учеников вырабатывается устойчивый интерес к предмету и неплохие знания, которые они подтверждают при сдаче различного рода экзаменов и при обучении в ВУЗах.

Учитель математики МАОУ «Лицей №38»