Задания

5 класс

1	Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 130? Ответ: нет. Решение. Так как а 13 – не цифра, то требуемое невозможно.
2	Школьники решали трудную задачу. В результате оказалось, что количество мальчиков, решивших задачу, равно количеству девочек, ее не решивших. Кого среди школьников больше – решивших задачу или девочек? Ответ: поровну. Решение. Прибавим к мальчикам ( человек), решившим задачу, девочек, решивших задачу ( человек). Мы получим всех учеников, решивших задачу ( человек). Прибавим теперь к девочкам, не решившим ( человек), девочек, решивших задачу ( человек). На этот раз получим всех девочек ( человек).
3	Натуральное число можно умножить на 2 и переставить в произвольном порядке его цифры (нельзя только 0 ставить на первое место). Можно ли такими операциями получить из 1 число 78? Ответ: нет. Решение. Допустим, что это возможно и посмотрим, как получилось 78. Оно могло получиться лишь как А 39 моголо получиться из 93, а 93 …
4	Встретились два жителя острова рыцарей и лжецов. Один из них сказал: «По крайней мере один из нас — рыцарь». Второй ему ответил: «Ты — лжец». Кто из них кто на самом деле? Ответ: первый – рыцарь, второй лжец. Решение. Допустим, что первый лжец. Тогда из его высказывания следует, что они оба лжецы. Но тогда второй не скажет ему: "Ты – лжец". Если же первый – рыцарь, а второй лжец, то условие выполняется. Если же оба рыцари, то второй не мог сказать эту фразу.
5	В школьном буфете за булочками к чаю выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут, наконец, принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально? Ответ: 22 человека Решение. Пусть вначале в очереди стояло человек, тогда промежутков на 1 меньше, чем людей и теперь стало человек. теперь промежутков и, наконец людей в очереди стало Имеем откуда
6	Чему равна сумма всех нечётных чисел от 1 до 100? Ответ: 2500. Решение.
7	Прямоугольник 5×9 разрезали по клеточкам на 10 прямоугольников. Докажите, что среди них обязательно найдутся два одинаковых. Решение. Допустим, что это не так. Рассмотрим набор из 10 различных возможных прямоугольников с минимальной площадью. Это прямоугольники с размерами Нетрудно подсчитать, что суммарная площадь (количество клеток) в этом наборе равно 46, а площадь исходного прямоугольника равна 45. Значит, в наборе из 10 прямоугольников все не могут быть разными. Значит, какие-то две одинаковые.
8	200 солдат построили для парада в прямоугольник. Затем в каждой колонне выбрали самого высокого, а в каждой шеренге – самого низкого. Кто выше: самый высокий из самых низких в шеренгах или самый низкий из самых высоких в колоннах? Ответ: самый низкий из самых высоких. Решение. Рассмотрим высокого солдата А в какой-то колонне. В его шеренге находится самый низкий в этой шеренге солдат, который ниже солдата А. Если все солдаты в колонне солдата А самые низкие в своих шеренгах, то всё хорошо, так как А выше по росту всех самых низких. Если же какой-то солдат В в колонне А не является самым низким, то в его шеренге есть солдат С, который ниже В, а значит, ниже А. Значит, любой самый высокий в своей колонне солдат выше любого самого низкого в своей шеренге солдата.

6 класс

1	Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 273? Ответ: нет. Решение. Так как а 13 – не цифра, то требуемое невозможно.
2	За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей мальчик–девочка и девочка–мальчик чётно. Решение. Если за столом мальчики и девочки чередуются, то количество всех детей чётно, причём количество девочек равно количеству мальчиков и каждой паре "мальчик-девочка" можно взаимно однозначно сопоставить пару "девочка мальчик". Если же рядом сидят несколько мальчиков, то при удалении всех их, кроме одного, количество пар "мальчик-девочка" и "девочка-мальчик" не изменится. Поэтому, удалив таким образом всех "лишних" мальчиков и девочек, мы получим за круглым столом чередующуюся группу, для которого решение приведено выше.
3	В этой задаче два персонажа: A и B. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. A высказывает следующее утверждение: "По крайней мере один из нас лжец". Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто лжец? Ответ: А – рыцарь, а В – лжец. Решение. Если А и В – оба рыцари или оба лжеца, то утверждение невозможно. Значит, кто-то рыцарь, а другой лжец. Если А – лжец, то опять утверждение невозможно. Наконец, если А – рыцарь, то всё хорошо и В – лжец.
4	Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы? Ответ: можно. Решение. Выберем, например, 25 пары таким образом: (1, 99), (2, 98), … , (18, 82), (20, 80), (21, 79), … , (25, 75) и (100, 66). Сумма их масс равна Сумма всех оставшихся 100 гирь равна Поэтому сумма оставшихся 50 гирь также равна 2566.
5	Среди математиков каждый седьмой – философ, а среди философов каждый девятый – математик. Кого больше: философов или математиков? Ответ: философов. Решение. Пусть количество математиков-философов равно Тогда математиков – а философов – и
6	Вася задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух? Ответ: на 7. Решение. Понятно, что оно не может оканчиваться на чётную цифру. Далее, оно не может оканчиваться на 1 (сумма двух цифр не равна 1) и на 5 (тогда оно кратно 5). Если число оканчивается на 3 или на 9, то сумма цифр кратна 3 и число не простое. Остаётся 7. Пример: 347. Существуют и другие примеры.
7	На острове Контрастов живут рыцари и лжецы (есть и те и другие). Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным? Ответ: не может. Решение. Пусть хотя бы один рыцарь сделал первое утверждение. Тогда все остальные рыцари и только они сделали такое же заявление. А все лжецы сделали второе заявление. Значит, на острове Контрастов и рыцарей и лжецов – чётное количество, а значит, число всех жителей тоже чётно. Если рыцари сделали второе заявление, а лжецы – первое, то и рыцарей и лжецов – нечётное количество, а число всех жителей снова чётно.
8	Четырьмя гирями продавец может взвесить любое целое число килограммов от 1 до 40 включительно. Общая масса гирь равна 40 кг. Какими гирями располагает продавец? Ответ: 1, 3, 9 и 27 кг Решение. Заметим, что 1+2=3, 1+3=4, 1+3+5=9, 3+6=9, 3+7=9+1, 8+1=9 и т. д. Комментарий для членов жюри. Любое число от 1 до можно получить в виде алгебраической суммы степеней 3.

7 класс

1	Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 273? Ответ: нет. Решение. Так как а 13 – не цифра, то требуемое невозможно.
2	Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Известно, что Докажите, что треугольник – равнобедренный. Решение. Проведём третью высоту Она проходит через точку Тогда высота и медиана в равнобедренном треугольнике Аналогично, высота и медиана в треугольнике Значит, треугольник равнобедренный.
3	В прошлом году за Али-Бабой гнались 40 разбойников, но поймать не смогли. В этом году атаман пообещал увеличить число таких разбойников как минимум на 39%. Какое наименьшее количество разбойников будут гоняться за Али-Бабой в этом году? Ответ: не менее 55. Решение. Заметим, что 5% от 40 равна 2, 35% от 40 равна 14, 40% от 40 равна 16; 39% от 40 больше 15, но меньше 16.
4	Две команды разыграли первенство по тринадцати видам спорта. За победу в каждом виде спорта начислялось четыре очка, за ничью – два очка и за поражение – одно очко. Вместе обе команды набрали 60 очков. Сколько было ничьих? Ответ: 5. Решение. В каждой встрече команды в сумме получают четыре очка, если встреча закончилась вничью и пять очков в противном случае. Если бы все 13 встреч закончились победой одной из сторон, то вместе команды набрали бы 65 очков. Значит, ничьих было 5.
5	Представьте 100 как сумму пяти различных натуральных чисел так, чтобы каждое делилось на все меньшие. 100=1+3+6+18+72
6	Существуют ли пять таких составных двузначных чисел, что любые два из них взаимно просты? Ответ: нет. Решение. Любое двузначное составное число имеет простой делитель, меньший 10. А простых чисел, меньших 10, четыре – 2, 3, 5 и 7. По принципу Дирихле, среди любых 5 составных двузначных чисел найдутся две не взаимно простые.
7	Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке . Известно, что Найдите угол . Ответ: Решение. Далее, Значит,
8	Пять футбольных команд провели турнир, в котором каждая команда сыграла с каждой по разу. Четыре команды набрали 1, 2, 5 и 7 очков. Сколько очков набрала пятая команда? (За победу в турнире начислялось 3 очка.) Ответ: 12 очков. Решение. Ясно, что первые две команды сыграли соответственно 1 и 2 раза вничью. Третья команда не могла все 5 очков набрать ничьими – тогда ей пришлось бы играть 5 раз. Поэтому 3 очка она набрала за счёт выигрыша, а остаток – сыграв два раза вничью. Аналогично, четвёртая команда не могла набрать 7 очков семью ничьими или выигрышем и 4 ничьими, значит у неё два выигрыша и одна ничья. Рассмотрим 6 матчей внутри этой четвёрки. В них получено в сумме не более 1+2+5+7=15 очков. Но если бы каждый матч закончился чьей-то победой, то в сумме было бы 18 очков. Каждая ничья уменьшает эту сумму на 1 и таких уменьшений было как минимум 3. Однако "внутренняя" ничья увеличивает на 2 сумму в столбике ничьих. Поскольку сумма равна 6, все ничьи внутренние. Больше ничьих в четвёрке не было – оставшиеся три внутренних матча закончились победой одной из команд. Но тогда все очки они получили от внутренних матчей, а о пятой команды им очков не досталось. Значит, пятая команда их всех победила и набрала 12 очков.