Контрольная работа

Вариант 9

Задание 1

Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению .

Решение

В силу условий Коши-Римана имеем

Интегрируя уравнение (I) по переменной , находим действительную часть . Слагаемое является постоянной (относительно ) интегрирования. Дифференцируя последнее равенство по , и сравнивая результат с уравнением (II), получаем

, откуда

и

Следовательно, и , то есть . Учитывая дополнительное условие , получим: , откуда . Итак, .

Ответ: .

Задание 2

Вычислить интеграл по данной линии

, – граница области: . Обход против часовой стрелки.

Решение

Изобразим границу области:

Разобьем контур интегрирования на 4 контура:

1)

2)

3)

4)

Ответ: .

Задание 3

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки.

Решение

Функция, является аналитической функцией в кольце . Следовательно, она разложима в ряд Лорана.

Разложим функцию в ряд Лорана.

Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора, в окрестности точки :

и положим на :

Следовательно, заданную функцию можно представить в виде ряда:

В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции по степеням является рядом Лорана для функции в кольце .

Ответ: .

Задание 4

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки.

Решение

Преобразуем функцию :

Следовательно:

Представим в виде суммы элементарных дробей:

Функция, является аналитической функцией в окрестности точки , т. е. в кольце . Следовательно, она разложима в ряд Лорана.

Воспользуемся известным разложением:

Ответ: .

Задание 5

Найти все лорановские разложения данной функции по степеням .

Решение

Представим данную функцию в виде:

1. Разложим дроби по степеням с положительными показателями внутри круга , т. е. :

2. Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в кольце , т. е.

Дробь разложим по степеням с отрицательными показателями вне круга , т. е.

Дробь разложим по степеням с положительными показателями внутри круга , т. е.

Таким образом:

3. Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана вне круга , т. е. .

Разложим дроби по степеням с отрицательными показателями вне круга :

Задание 6

Найти все особые точки функции , определить их тип (для полюсов указать их порядок).

Решение

Функция имеет одну изолированную особую точку , в окрестности которой её разложение в ряд Лорана имеет вид:

Этот ряд содержит бесконечное множество степеней с отрицательными показателями; следовательно, – существенно особая точка.

Ответ: – существенно особая точка.

Задание 7

Определить тип особой точки для данной функции.

Решение

Имеем:

Определим порядок нуля точки , для функций:

Следовательно, для функции точка является нулем кратности

Следовательно, для функции точка является нулем кратности .

Для функции , точка является полюсом порядка .

Ответ: полюс третьего порядка.

Задание 8

Найти вычеты функции .

а)

Решение

Имеем одну особую точку .

Т. к. и

Следовательно, – полюс I-го порядка.

Вычет

б)

Решение

Имеем одну особую точку .

Т. к. и

Следовательно, – полюс II - го порядка.

Вычет

.

в)

Решение

Имеем одну особую точку .

Разложим функцию в ряд Лорана:

В силу единственности ряда Лорана, полученное разложение функции по степеням является рядом Лорана для данной функции в кольце . Так как этот ряд Лорана содержит бесконечное число степеней с отрицательными показателями, то точка является существенно особой точкой, и

Ответ: а) ; ; в) .

Задание 9

Вычислить интегралы:

Решение

Подынтегральная функция имеет две устранимые особые точки и , которые расположены внутри круга . Согласно теореме Коши, получаем

Вычет в устранимой особой точке равен 0:

.

Ответ: 0.

Задание 10

Вычислить интеграл , если задана и .

Решение

Подынтегральная функция имеет изолированную особую точку внутри круга .

Т. к. , и

Следовательно, – полюс 4-го порядка.

Вычет:

Согласно теореме Коши получаем:

.

Ответ: .

Задание 11

Вычислить интеграл , если задана функция .

Решение

Пусть , тогда

при точка описывает окружность .

Следовательно:

,

где

Подынтегральная функция имеет два простых полюса:

Внутри единичной окружности находится один простой полюс: .

Найдем вычет:

Согласно теореме Коши получаем:

.

Ответ: .

Задание 12

Вычислить интеграл , если задана функция .

Решение

Теорема 1. Пусть где и – многочлены степеней и соответственно. Если непрерывна на всей действительной оси и , то

,

где – полюсы функции в верхней полуплоскости.

Так как , то удовлетворяет условию теоремы 1.

Функция имеем полюс второго порядка в верхней полуплоскости.

Поэтому согласно теореме 1, находим

Ответ: .

Задание 13

Вычислить интеграл.

Решение

Теорема 2. Пусть где и – многочлены степеней и соответственно. Если непрерывна на всей действительной оси и , то при

,

где – полюсы функции в верхней полуплоскости .

По условию и .

Функция имеем полюс второго порядка в верхней полуплоскости.

Поэтому на основании теоремы 2, получаем

Ответ: .

Задание 14

По данному оригиналу найти изображение.

Решение

Используя теорему линейности и формулы соответствия, получим

Ответ: .

Задание 15

Найти изображение функции , заданной графически.

Решение

В аналитической форме:

На интервале уравнение прямой найдено по формуле

Имеем

Ответ:.

Задание 16

По данному изображению найти оригинал, разлагая изображение на простейшие дроби.

Решение

Разложим дробь на простейшие:

Полагая

Используя теорему линейности и формулы соответствия, получим

.

Ответ: .

Задание 17

По данному изображению найти оригинал, используя теорему разложения на сумму вычетов.

.

Решение

Функция имеет два полюса: – полюс кратности два и – полюс кратности три.

По теореме разложения находим

Находим вычеты:

Ответ: .

Задание 18

По данному изображению найти оригинал, используя теорему о произведении изображений.

Решение

Воспользуемся теоремой о произведении изображений:

Ответ: .

Задание 19

По данному изображению найти оригинал, используя формулу Дюамеля.

Решение

По формуле Дюамеля имеем

Ответ: .

Задание 20

Решить операционным методом дифференциальное уравнение.

Решение

Пусть

.

Запишем операторное уравнение:

Используя теорему линейности и формулы соответствия, имеем:

Ответ: .

Задание 21

Операционным методом решить задачу Коши.

Решение

Пусть

.

Запишем операторное уравнение:

Используя теорему линейности и формулы соответствия, имеем:

Ответ: .

Задание 22

Решить операционным методом систему дифференциальных уравнений.

Решение

Пусть:

Система операторных уравнений имеет вид:

Ответ: .

Задание 23

Решить систему дифференциальных уравнений.

Решение

Пусть:

Система операторных уравнений имеет вид:

и является СЛАУ.

Решим её по формулам Крамера:

Раскладывая на простейшие дроби, имеем

Используя теорему линейности и формулы соответствия, имеем:

Ответ: .

Задание 24

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям , используя формулу Дюамеля.

Решение

Решаем уравнение операционным методом:

разложим на простейшие дроби:

Используя теорему линейности и формулы соответствия, получим:

Применяя формулу Дюамеля, имеем

Ответ: .