Устойчивость равновесия деформируемых систем

8. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

8.1. Устойчивые и неустойчивые системы

Устойчивость систем можно проиллюстрировать рисунками ( 8.1 ). На ( рис.8.1,а ) изображена устойчивая система, на ( рис. 8.1,б ) - неустойчивая, на ( рис.8.1,в ) - безразличная, и на ( рис.8.1,г ) - устойчивая “в малом”, но не устойчивая “в большом”.

Системой называется устойчивой, если она при малых возмущениях не переходит к качествен-но новому состоянию. Пусть на систему дей-ствуют силы, которые будем увеличивать. При определенном значении сил, система не вернется в первоначальную форму равновесия, а останется в новой форме равновесия. Момент перехода форм называется, бифуркацией, а силы, действующие на систему в этот момент, - критическими . Переход к новому состоянию равновесия, называется потерей устойчивости.

При потере устойчивости возможны возникновение пластических деформаций и разрушение, продолжение работы, незатухающие коле-бания. Второй и третий варианты мы рассматривать не будем. Поэтому считаем, что критические силы являются предельными для конструкции.

Рабочая нагрузка F должна быть в ny раз меньше критической

.

Здесь ny - коэффициент запаса устойчивости.

При F = FКР в конструкции возникают критические напряжения .

Для сжатого стержня .

8.2. Задача Эйлера

Пусть стержень сжимается силой ( рис. 8.2 ). Когда сила достигнет критического значения , то стержень изогнется. Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при малых деформациях .

В сечении стержня возникает изгибающий момент , тогда , или , или , где .

Общий интеграл этого дифференциального уравнения имеет вид:

.

Для нахождения посто-янных интегрирования, исполь-зуем условия на опорах стержня:

при , , отсюда ;

при , , то есть . Здесь , так как, если , то , то есть стержень прямой, что противоречит условию задачи.

Значит, , , , .

При , , то есть стержень прямой, что противоречит условию задачи. Откуда величины критических сил

.

При получим минимальное значение критической силы .

Надо учесть, что потеря устойчивости происходят в направлении наименьшей жесткости, перпендикулярно плоскости, проходящей через ось стержня и главную центральную ось, относительно которой . Тогда . В уравнении прогибов величина осталась неизвестной, но она должна быть достаточно мала, чтобы можно было воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Случаи и так далее без дополнительных опор при статическом действии нагрузки не реализуются.

8.3. Влияние способов закрепления концов стержня

на величину критической силы

свел различные случаи опирания стержня к случаю шарнирного опирания на концах и ввел так называемую « приведенную » длину ( рис. 8.3 ). Здесь – « приведенная » длина, - коэффициент приведения длины.

 

Окончательно получаем формулу Эйлера для определения критической силы .

Определяем критические напряжения

,

где величена называется гибкостью стержня.

В выводе формулы для критических сил и напряжений, использовалось приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Это уравнение было выведено в предположении, что материал стержня подчиняется закону Гука. Таким образом, полученные зависимости можно применять только для значений напряжений, меньших или равных пределу пропорциональности

.

Отсюда . Обозначим .

Таким образом, формула Эйлера может применяться при .

Определение критических напряжений для стержней, у которых меньше проводится с помощью экспериментов.

Разделим стержни на три категории по их гибкости:

1.  Стержни малой гибкости: .

2.  Стержни средней гибкости: .

3.  Стержни большой гибкости: .

Стержни малой гибкости - это короткие толстые стержни, которые теряют несущую способность, вследствие возникновения пластических деформаций или разрушения. Критическое напряжение для них равно - для пластических материалов или - для хрупких материалов.

В стержнях средней гибкости на несущую способность влияют как пластические деформации, так и потеря устойчивости. Для стержней малой и средней гибкости на основе экспериментов предложил формулу .

Коэфиценты а и в для некоторых материалов приведены в таблице

Материал		а ( МПа )	в ( МПа )
Ст2, ст3.	100	310	1.14
Ст5.	100	464	3.26
Сталь 40.	90	321	1.16
Дерево (сосна).	110	29.3	0.194
Чугун.	80	776	12.0

8.4. Расчет по коэффициенту уменьшения допустимых напряжений

Для сжатых стержней необходимо проводить две проверки:

1) Проверка на прочность: ,

где - для пластичных материалов,

- для хрупких материалов.

- коэффициент запаса прочности.

2) Проверка на устойчивость: ,

где - коэффициент запаса устойчивости.

Разделим на , получим: ,

где - коэффициент уменьшения основного допустимого напряжения.

. .

Таким образом, две проверки заменяют одной

Пример расчета стержня на устойчивость

Стальной стержень длиной сжимается силой F = 100 кН ( рис. 8.4 ). Требуется: определить размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении на простое сжатие [s] = 160 МПа; найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Определяем геометрические характеристики поперечного сече-ния стержня.

Площадь откуда

Главные центральные моменты инерции поперечного сечения стержня

Минимальный главный центральный момент инерции

Минимальный радиус инерции

Гибкость стержня

где m - коэффициент приведения длины.

Для рассматриваемого стержня m = 1.

Подбор поперечного сечения стержня проводим последовательными приближениями, предварительно задаваясь коэффициентом продольного изгиба j = 0,5.

Первое приближение j1 = 0,5.

Площадь сечения

Гибкость

Так как в таблице коэффициентов продольного изгиба j, см. приложение 7, такой гибкости j1табл нет, воспользуемся линейной интерполяцией. Представим число 117 как 110 + 7.

Из таблицы при l = 110 j = 0,52, при l = 120 j = 0,45.

Значит для Dl = 10 будет Dj = -0,07.

Для Dl = 1 Dj = -0,007 , тогда

Напряжения, действующие в стержне

Допускаемое напряжение на устойчивость

Разница в процентах между действующим напряжением и напряжением на устойчивость

Это больше допустимых 5 %, поэтому проводим второе приближение.

Второе приближение В качестве начального значения j2 для второго приближения принимается

Повторяя в той же последовательности все действия, выполненные в первом приближении, получаем

,

Полученная разница 0,2 % менее 5 % допустимых, следовательно принимаем с2 = 1,16 см.

Определяем критическую силу Fк.

Если l < lПРЕД, то для определения критической силы используется формула Ясинского, а если l > lПРЕД, то формула Эйлера. Для стали марки Ст.3 величина гибкости lПРЕД= 100.

Так как гибкость стержня l = 115 > l = 100, то критическую силу определяем по формуле Эйлера

Коэффициент запаса устойчивости