Теория групп и ее приложения

1. Название дисциплины: Теория групп и ее приложения

2. Лекторы.

2.1. К. ф.-м. н. доцент , кафедра теоретической физики физического факультета МГУ, *****@***ru, [phone].

3. Аннотация дисциплины.

Курс посвящен изучению основ теории групп и ее приложений в теории поля, физике частиц, симметрий дифференциальных уравнений

4. Цели освоения дисциплины.

Овладение основными понятиями теории групп ее приложений, изучение их роли в физике фундаментальных взаимодействий

5. Задачи дисциплины.

Обучение методам применения теории групп в физике элементарных частиц, теории поля, физике твердого тела.

6. Компетенции.

7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-6, ПК-1

7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основы теории групп;

уметь применять теорию в физике фундаментальных взаимодействий;

владеть методами построения представлений основных групп, методами вычисления с помощью теории групп ряда физических предсказаний, в частности, в физике сильно взаимодействующих частиц;

иметь опыт самостоятельного решения задач и вывода теоретических положений.

8. Содержание и структура дисциплины.

Вид работы	Семестр	Всего
1	2	3
Общая трудоёмкость, акад. часов	68	72	–	140
Аудиторная работа:	34	36	–	70
Лекции, акад. часов	34	36	–	70
Семинары, акад. часов	–	–	–	0
Лабораторные работы, акад. часов	–	–	–	0
Самостоятельная работа, акад. часов	34	36	–	70
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)	Зач.,экз.	Зач.,экз.	–

N раз- дела	Наименование раздела Разделы могут объединять несколько лекций	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий Распределение общей трудоёмкости по семестрам указано в рабочих планах (приложение 7)	Форма текущего контроля
Аудиторная работа	Самостоятельная работа Содержание самостоятельной работы должно быть обеспечено, например, пособиями, интернет-ресурсами, домашними заданиями и т. п.
Лекции	Семинары	Лабораторные работы
1	Основные понятия теории групп и алгебр	2 часа. Множества, группы, смежные классы, подгруппы, Теорема Лагранжа.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.	ДЗ, Об
4 часа. Отображения групп. Понятие морфизмов групп. Факторгруппа. Группа перестановок.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4часа. Теоремы теории представлений групп. Теорема Машке. Леммы Шура. Приводимые, неприводимые и ортогональные представления групп.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа Алгебры Ли. Представление алгебр Ли. Классификация алгебр Ли			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2	Группы и алгебры Ли. Представления групп и алгебр Ли	4 часа. Группыт Ли. Уравнения структуры.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.	ДЗ, Об
2 часа. Разложение вблизи единицы. Генераторы групп Ли			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Произведения групп. Представление произведений			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Представление групп. Представление группы в целом			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
3	Пространственно-временные симметрии в теории полей и частиц	2 часа. Группа симметрий трехмерного пространства.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.	ДЗ, Об
2 часа. Группа вращений трехмерного пространства			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Представление группы вращений трехмерного пространства в пространстве сферически-симметричных функций			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа Спинорное представление группы вращений. Дробно-линейное преобразование стереографической проекции и спинорное представление			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа Симметрии пространства Минковского. Конформная группа. Группа Вейля. Группа Пуанкаре, Группа Лоренца			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Группа Лоренца. Морфизмы Группы лоренца			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Спинорное и биспинорное представление группы Лоренца			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Представление собственной группы Лоренца, полной и общей группы Лоренца			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Релятивистские уравнения			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа Группа Пуанкаре. Матричное представление группы Пуанкаре			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа Конформная группа. Представление конформной группы			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа Суперсимметричные преобразования и суперсимметричные алгебры. Представления супералгебр			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4	Унитарные группы и их представления	2 часа. Унитарные группы Ли			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.	ДЗ, Об
2 часа. Тензорное представление унитарных групп Ли			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа. Мультиплеты и супермультиплеты Классификация адронов.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Октеты и декуплеты адронов. Основные принципы классификации адронов.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Три типа изоспинов и структуры супермультиплетов.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Общие принципы построения супермультиплетов. Переменные Вейля.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
4 часа. Массовые формулы.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Расширение классификации адронов.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
5	Группы симметрий дифференциальных уравнений и операторов	2 часа. Симметрии дифференциальных уравнений			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.	ДЗ, Об
2 часа. Симметрия уравнения Шредингера			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Симметрии уравнения Дирака и уравнения Паули.			Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.
2 часа. Симметрии систем дифференциальных уравнений и законы сохранения динамических систем		.	Работа с лекционным материалом; решение задач, заданных на дом.

Семинары и лабораторные работы указываются только при их наличии в учебном плане (приложение 6). Остальные позиции заполняются в обязательном порядке.

Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости.

1. Защита лабораторной работы (ЛР); 2. Расчетно-графическое задание (РГЗ); 3. Домашнее задание (ДЗ);

4. Реферат (Р); 5. Эссе (Э); 6. Коллоквиум (К);

7. Рубежный контроль (РК); 8. Тестирование (Т); 9. Проект (П);

10. Контрольная работа (КР); 11. Деловая игра (ДИ); 12. Опрос (Оп);

15. Рейтинговая система (РС); 16. Обсуждение (Об).

9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

1.  Обязательная дисциплина.

2.  Вариативная часть, профессиональный блок, дисциплина профиля.

3.  Курс дает введение в ключевую область современной фундаментальной физики — теорию групп и ее применения в теории поля, физике частиц, законах сохранения динамических систем, классификации сильновзаимодействующих частиц, единые модели теории поля

3.1.  Теоретическая механика, линейная алгебра, основы геометрии.

3.2.  Теория поля, теория фундаментальных взаимодействий, аномалии в квантовой теории.

10. Образовательные технологии

·  дискуссии,

·  круглые столы,

·  преподавание дисциплин в форме авторских курсов по программам, составленным на основе результатов исследований научных школ МГУ,

11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Вопросы к зачету и экзамену (I семестр):

1. Множества, подмножества. Пустое и непустое множества.

2. Определение группы. Примеры

3. Комплексы. Смежные классы.

4. Теорема Лагранжа

5. Нормальная подгруппа. Примеры

6. Отображения групп. Определение гомоморфизма, изоморфизма.

7. Факторгруппа. Примеры

8. Группа перестановок

9. Группы симметрий равностороннего треугольника и тетраэдра

10. Леммы Шура

11. Теорема Машке

12. Ортогональные представления.

13. Приводимые и неприводимые представления. Примеры

14. Характер представления

15. Алгебры Ли. Подалгебры

16. Алгебры разрешимые, простые, полупростые и нильпотентные

17. Дифференцирование алгебр Ли

18. Представления алгебр Ли

19. Приводимые и неприводимые представления алгебр Ли

20. Форма Киллинга алгебры Ли

21. Система корней алгебры Ли

22. Теорема Картана.

23. Подалгебры Картана

24. Корневые диаграммы

25. Схемы Дынкина

26. Группы Ли.

27. Вывод уравнений структуры

28. Условие интегрируемости

29. Группы Ли и алгебры Ли – разложение вблизи единицы

30. Генераторы групп Ли

31. Прямое и полупрямое произведение групп Ли

32. Прямая и полупрямая сумма алгебр Ли.

33. Группы преобразований пространства

34. Поверхности транзитивности

35. Группа симметрий трехмерного евклидова пространства

36. Группа вращений трехмерного евклидова пространства

37. Размерность представления группы вращений

38. Представление группы вращений в пространстве сферически-симметричных функций.

39. Спинорное представление группы вращений

40. Связь спинорного представления с дробно-линейным преобразованием стереографической проекции

Вопросы к зачету и экзамену (II семестр):

1. Группа Лоренца и симметрии пространства Минковского

2. Поверхности транзитивности группы Лоренца

3. Изоморфизм групп SO(3,1) и SL(2,C).

4. Спинорное представление группы Лоренца.

5. Биспинорное представление группы Лореца

6. Представление общей и полной групп Лоренца.

7. Релятивистские уравнения. Формализм Дюффина-Кемера.

8. Группа Пуанкаре.

9. Матричное представление группы Пуанкаре в 5-мерном пространстве

10. Индуцированные представления

11. Метод малой группы и представление группы Пуанкаре

12. Конформная группа.

13. Представление конформной группы в координатном пространстве

14. Линейное представление конформной группы в шестимерном пространстве

15. Изоморфизм групп SU(2,2) и конформной группы.

16. Бозонный и фермионный осцилляторы

17. Грассмановы алгебры и алгебры Клиффорда.

18. Суперсимметричные преобразования и алгебры

19. Суперсимметричное расширение группы Пуанкаре

20. Суперпартнеры и вырожденные уровни энергии

21. Унитарные группы и алгебры

22. Тензоры симметричные, антисимметричные и бесследовые.

23. Представление унитарных групп симметричными бесследовыми тензорами

(2) мультиплеты, как структурные составляющие супермультиплетов

26. Переменные Вейля и структура супермультиплетов.

27. Три типа изоспинов и структура супермультиплетов

28. Основные принципы классификации адронов

29. Октет барионов

30. Декуплет мезонов и открытие Омега частицы

31. Массовые формулы. Основные принципы их вывода

32. Общие принципы построения супермультиплетов, переменные Вейля

33. Симметрии дифференциальных уравнений

34. Группы симметрий уравнения Вейля для безмассовых фермионов

35. Симметрия уравнения Шредингера

36. Симметрия уравнения второго порядка

12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература:

А. Барут, Р. Рончка, Теория представлений групп и ее приложения (Мир,

1.  Москва, 1980).

Дж. Элиот, П. Добер. Симметрия в физике (Мир, Москва, 1983). , , Теория унитарной симметрии (Наука, Москва, 1970). , , Представления групп (Наука, Москва, 1983 , , Групповые, геометрические и топологические методы в теории поля (Изд-во Моск. ун-та, Москва, 1983).

Дополнительная литература:

, Теория представлений групп (Наука, Москва, 1976).

Интернет-ресурсы:

1.  www. arXiv. org.

Программное обеспечение современных информационных компьютерных технологий:

1.  Wolfram Mathematica, версия 7.

13. Материально-техническое обеспечение

В соответствии с требованиями п.5.3 образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки «Физика».

Аудитория 4–58, мел, доска.