Контрольная работа

Вариант 4

1 В квартире, где проживает Настя, установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). 1 января счётчик показывал расход 76,2 куб. м воды, а 1 февраля –  91,6 куб. м. Какую сумму должна заплатить Настя за горячую воду за январь, если цена 1 куб. м горячей воды составляет 90 руб. ? Ответ дайте в рублях.

2 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 2 миллиметров осадков.

3 Найдите длину средней линии трапеции, изображённой на рисунке.

4 В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. Ответ округлите до сотых.

5 Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из корней.

6 В треугольнике ABC   АD   –  биссектриса, угол C  равен 98° , угол САD  равен 11° . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

7 На рисунке изображён график функции y = f( x ), определённой на интервале ( −5, 9 ) . Найдите количество всех неотрицательных значений х , в которых производная функции f( x )  равна 0 .

8 В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

9 Найдите значение выражения .

10 При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решётку с периодом d  нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 2100 нм ?

11 Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

12 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0,5; 2] .

О т в е т ы к варианту 4

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1386	11	4	0,38	10	60	3	3	441	30	9	-3

Вариант 4

13 а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14 В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АВ, АС, А1В1 и А1С1 взяты точки

соответственно М, К, М1 и К1 так, что АМ : ВМ = 3 : 2, А1М1 : В1М1 = 3 : 1, АК : СК =

3 : 7, А1К1 : С1К1 = 3 : 5 .

а) Докажите, что КММ1К1 – трапеция.

б) Найдите площадь четырёхугольника КММ1К1 , если АВ = ВС = СА = 40, а СС1 = 5 .

15 Решите неравенство .

16 Прямая, параллельная стороне МК треугольника МКН, касается его вписанной

окружности и пересекает стороны НМ и НК в точках А и В.

а) Докажите, что длина стороны МК равна полуразности периметров треугольников

МКН и АВН.

б) Найдите сторону МК, если периметр треугольника МКН равен 15 ,

а длина отрезка АВ равна 1,8 .

17 Клиент взял кредит в банке на три года под 20% годовых, начисляемых в конце каждого

года на текущую сумму долга. Ежегодные выплаты производятся в начале следующего года

и образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите величину первого

платежа, если взятая в кредит сумма равна 100000 рублей, а общая сумма выплат по

кредиту составила 145500 рублей.

18 Найдите все такие значения a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

19 а) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию?

б) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) Будем говорить, что три числа образуют «хорошую» тройку, если взятые в некотором

порядке, они образуют арифметическую прогрессию, а взятые в некотором другом

порядке, они образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные целые

числа , при каждом из которых числа , и образуют

«хорошую» тройку.

Ответы и указания к варианту 4

13 а) ; б) ; и

14 Указание: покажите, что МК и М1К1 перпендикулярны плоскости АСС1А1 .

б) .

15 . Указание: заменой приведите исходное

неравенство к виду .

16 а) воспользуйтесь равенством отрезков касательных, проведённых из точки

к окружности;

б) 4,5 или 3 . Указание: МК = х находится из уравнения .

17 40000 . Указание: величина первого платежа а находится из уравнений

и .

18 . Указание: исходную систему можно переписать в виде

. Окружность

имеет ровно одну общую точку с полосой в трёх случаях:

1) когда эта окружность касается прямой слева ;

2) когда эта окружность касается прямой справа ;

3) когда радиус этой окружности равен нулю, а центр расположен в полосе .

19 а) да . Например, при имеем: , и .

б) да . Например, при имеем: , и .

в) 5 . Указание: проверьте, что корнями уравнений ,

и могут быть только числа 1 , –2 и .

Вариант 4

13 а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14 В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АВ, АС, А1В1 и А1С1 взяты точки

соответственно М, К, М1 и К1 так, что АМ : ВМ = 3 : 2, А1М1 : В1М1 = 3 : 1, АК : СК =

3 : 7, А1К1 : С1К1 = 3 : 5 .

а) Докажите, что КММ1К1 – трапеция.

б) Найдите площадь четырёхугольника КММ1К1 , если АВ = ВС = СА = 40, а СС1 = 5 .

15 Решите неравенство .

16 Прямая, параллельная стороне МК треугольника МКН, касается его вписанной

окружности и пересекает стороны НМ и НК в точках А и В.

а) Докажите, что длина стороны МК равна полуразности периметров треугольников

МКН и АВН.

б) Найдите сторону МК, если периметр треугольника МКН равен 15 ,

а длина отрезка АВ равна 1,8 .

17 Клиент взял кредит в банке на три года под 20% годовых, начисляемых в конце каждого

года на текущую сумму долга. Ежегодные выплаты производятся в начале следующего года

и образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите величину первого

платежа, если взятая в кредит сумма равна 100000 рублей, а общая сумма выплат по

кредиту составила 145500 рублей.

18 Найдите все такие значения a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

19 а) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию?

б) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) Будем говорить, что три числа образуют «хорошую» тройку, если взятые в некотором

порядке, они образуют арифметическую прогрессию, а взятые в некотором другом

порядке, они образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные целые

числа , при каждом из которых числа , и образуют

«хорошую» тройку.

Вариант 4

13 а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14 В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АВ, АС, А1В1 и А1С1 взяты точки

соответственно М, К, М1 и К1 так, что АМ : ВМ = 3 : 2, А1М1 : В1М1 = 3 : 1, АК : СК =

3 : 7, А1К1 : С1К1 = 3 : 5 .

а) Докажите, что КММ1К1 – трапеция.

б) Найдите площадь четырёхугольника КММ1К1 , если АВ = ВС = СА = 40, а СС1 = 5 .

15 Решите неравенство .

16 Прямая, параллельная стороне МК треугольника МКН, касается его вписанной

окружности и пересекает стороны НМ и НК в точках А и В.

а) Докажите, что длина стороны МК равна полуразности периметров треугольников

МКН и АВН.

б) Найдите сторону МК, если периметр треугольника МКН равен 15 ,

а длина отрезка АВ равна 1,8 .

17 Клиент взял кредит в банке на три года под 20% годовых, начисляемых в конце каждого

года на текущую сумму долга. Ежегодные выплаты производятся в начале следующего года

и образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите величину первого

платежа, если взятая в кредит сумма равна 100000 рублей, а общая сумма выплат по

кредиту составила 145500 рублей.

18 Найдите все такие значения a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

19 а) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют арифметическую прогрессию?

б) Найдётся ли такое целое число , что числа , и ,

взятые в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) Будем говорить, что три числа образуют «хорошую» тройку, если взятые в некотором

порядке, они образуют арифметическую прогрессию, а взятые в некотором другом

порядке, они образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные целые

числа , при каждом из которых числа , и образуют

«хорошую» тройку.