Исследование резонанса "спутник-маятник" тросовой системы гравитационной стабилизации спутника

Решение задач, стоящих перед современными космическими аппаратами (КА) часто требует их ориентации на Землю в течение длительного времени. Одним из способов достижения этого является использование пассивных систем стабилизации углового движения, т. е. систем, не требующих для своего функционирования затрат энергии или рабочего тела.

Наибольшее распространение среди таких систем получили системы гравитационной стабилизации (СГС). В основу их создания положено известное свойство движения твердого тела в ньютоновском поле сил по круговой орбите: под действием гравитационных моментов тело занимает устойчивое положение, в котором наибольшая ось эллипсоида инерции направлена по радиус-вектору к орбите, средняя ось — по касательной к орбите, и наименьшая ось — по бинормали к орбите (слайд 2).

Идея использования восстанавливающего момента гравитационных сил для стабилизации углового движения КА возникла на заре космонавтики. Еще в 1956 г. была предложена схема СГС, в которой к спутнику шарнирно присоединено второе тело — стабилизатор. Как правило, гравитационный стабилизатор выполняется в виде жесткой штанги. Пример такого КА — микроспутник МС-1-ТК — приведен на слайде 3.

В последнее десятилетие появился новый класс СГС, в которых в качестве стабилизаторов вместо жестких штанг используются гибкие связи (тросы, ленты). Их использование позволяет снизить стоимость системы стабилизации и уменьшить ее массу, что особенно важно для малых КА. Такие системы разрабатываются для ряда перспективных микро - и наноспутников (слайд 4). С другой стороны, КА с гибким гравитационным стабилизатором и стабилизирующим грузом, по сути, являются космической тросовой системой (КТС). Примером таких систем является TiPS, успешно проработавшая на орбите 4 года — слайд 5. Одной из основных проблем создания КТС в настоящее время является стабилизация движения, обеспечивающая требуемую точность ориентации концевых тел системы. Таким образом, исследование динамики КА с тросовыми СГС находится на стыке двух перспективных направлений современной космонавтики.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Еще более важным преимуществом использования тросового соединения вместо штанги является возможность технологически достаточно просто увеличить расстояние между спутником и стабилизирующим грузом — до нескольких километров, что на 2–3 порядка больше длины штанги. Соответственно увеличивается и восстанавливающий момент градиента гравитационных сил, который в первом приближении пропорционален квадрату расстояния между спутником и стабилизирующим грузом.

Почему же несмотря на такие существенные преимущества СГС с гибкими связями до сих пор не нашли широкого применения на практике?

Трудности создания таких систем в первую очередь связаны с гибкостью нити и невозможностью передачи через нее моментов (в частности, демпфирующих) сил.

Идея предлагаемой схемы системы стабилизации углового движения КА с использованием тросового соединения принадлежит , и заключается во введении в систему дополнительного тела (приставки), с одной стороны прикрепленного к тросу, а с другой стороны, соединенного с КА при помощи сферического шарнира (слайд 6). При такой схеме соединения тел появляется возможность создавать диссипативные моменты, рассеивающие энергию колебаний системы.

Исследованию возможностей использования предложенной схемы для стабилизации углового движения КА посвящен цикл работ [ПироженкоХрамов2001, ПироженкоХрамов2004, Храмов2004]. Была построена нелинейная модель динамики системы, уравнения движения были линеаризованы в окрестности радиального положения равновесия, и проведен анализ собственных частот колебаний системы. Излагаемые в докладе результаты получены в ходе решения задачи выбора параметров системы, обеспечивающих приемлемую продолжительность переходных процессов.

Задача выбора параметров включает в себя определение границ изменения параметров (исходя из физических и технических соображений), оптимизацию параметров, а также исследование влияния тех или иных конструктивных параметров системы на ее динамику (в частности, влияния неточности задания параметров на продолжительность переходных процессов, что важно для практической реализации системы).

Рассмотрим более подробно задачу оптимизации параметров системы по быстродействию. Основное влияние на длительность переходных процессов оказывает один или несколько ближайших к мнимой оси корней характеристического уравнения. Поэтому в качестве критерия оптимальности выбран максимум степени устойчивости системы, т. е. максимум абсолютной величины вещественной части ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения.

Следует отметить, что постановка задачи оптимизации в нашем случае отличается от традиционной задачи глобальной оптимизации, и состоит не столько в том, чтобы найти один глобальный экстремум, сколько в том, чтобы найти наиболее значительные локальные экстремумы и исследовать, какие физические закономерности их определяют.

Целевая функция зависит от многих переменных (около 20) и, как показали предварительные расчеты, имеет множество локальных экстремумов в ОДЗ (слайд 7). Отсутствует какая-либо априорная информация о характере ее поведения, принадлежности ее к тому или иному классу (наличии первой или второй производных, удовлетворению условия Липшица и т. п.). Еще одной трудностью является сложная форма области допустимых значений параметров.

С другой стороны, помимо значений целевой функции мы располагаем дополнительной информацией, которую можно использовать при поиске экстремумов и анализе их физического смысла: собственными частотами колебаний системы и их оценками (слайд 8).

Как показал анализ [ПироженкоХрамов2004], медленнее всего затухают маятниковые колебания системы, т. е. колебания системы в целом как твердого тела. Для рассеяния энергии этих колебаний ее необходимо передавать в подсистемы с диссипацией. Наилучшие условия для этого создаются, когда маятниковые колебания находятся в резонансе с колебаниями аппарата, приставки или продольными колебаниями системы. Поэтому можно предположить, что экстремумы целевой функции достигаются именно при таких резонансах. Руководствуясь полученными формулами для оценки частот колебаний подсистем [ПироженкоХрамов2004], можно подобрать параметры так, чтобы оказаться в "окрестности" резонанса.

В результате проведенного информационного поиска не было найдено какого-либо регулярного метода, позволяющего оптимизировать целевую функцию по всем параметрам. Более предпочтительной представляется оптимизация по части параметров. С одной стороны, это позволит сократить объем вычислений, с другой — поможет выделить наиболее существенно влияющие на величину экстремума параметры.

В результате оптимизации установлено, что экстремумы целевой функции достигаются при резонансах между маятниковыми колебаниями и колебаниями спутника, между маятниковыми и продольными колебаниями системы (см. слайд 8), а также в случае "тройного резонанса" между колебаниями аппарата, продольными и маятниковыми.

Остановимся более подробно на резонансе между колебаниями спутника и маятниковыми колебаниями, иначе говоря, на резонансе "спутник-маятник". Он был получен при оптимизации т. н. "геометрических" параметров системы — расстояний: от центра масс спутника до шарнирной точки , от центра масс приставки до шарнирной точки и от центра масс приставки до точки крепления троса к приставке .

Оптимальные значения параметров приведены в таблице (слайд 9).

Величина степени устойчивости системы по отношению к угловой скорости орбитального движения составляет приблизительно 0,04. Для затухания собственных колебаний потребуется, таким образом, около 19 оборотов спутника вокруг Земли. По круговой орбите высотой км это составит сутки с четвертью. С теоретической точки зрения это не слишком хороший результат. В частности, величины степени устойчивости, полученные при других резонансах исследуемой системы, могут обеспечить затухание колебаний спутника менее чем за один оборот вокруг Земли. Однако с практической точки зрения результат вполне удовлетворителен, т. к. сроки существования спутников на орбите составляют годы. Важно еще и то, что по сравнению с другими резонансами в исследуемой системе, резонанс "спутник-маятник" проще осуществим технически.

На слайде 10 представлен график затухания одного из двух наиболее медленно затухающих колебаний — колебаний по углу тангажа аппарата при оптимальных значениях параметров.

Определим, при каких соотношениях между моментами инерции аппарата достигается максимальное значение экстремума целевой функции. Для этого вычислим ее значения при следующих соотношениях между моментами инерции: "стержень"; "диск"; "шар" (слайд 11). Предполагается, что "стержни" и "диски" принимают различные ориентации параллельно осям орбитальной системы координат.

Результаты расчетов приведены на слайде 12. Наибольшие значения экстремума достигаются при соотношениях между моментами инерции, делающих спутник неустойчивым в орбитальной системе координат (например, "стержне" параллельном трансверсали к орбите). Система "спутник с СГС" в целом при этом устойчива. Наименьшие значения достигаются при устойчивом спутнике.

Потеря системой в целом устойчивости происходит при равенстве моментов инерции (в силу симметрии ). Оценку можно получить по формуле . Согласно ей, потеря устойчивости произойдет при  кг×м2. Справедливость оценки подтверждается расчетами.

Можно также показать, что полученные оптимальные соотношения практически не зависят от соотношений между моментами инерции приставки. Такая зависимость возникает, когда величины моментов инерции приставки и аппарата становятся сравнимы. Однако в таком случае мы получаем, по существу, другой класс КА, исследование которого выходит за рамки работы.

Рассмотрим зависимость величины экстремума от длины троса. Результаты оптимизации геометрических параметров системы при различных длинах троса представлены на слайде 13. Из графика видно, что величина экстремума растет линейно с уменьшением длины троса.

Полученную закономерность можно пояснить на примере линейного осциллятора (слайд 14). Согласно (*), энергия колебаний пропорциональна квадрату длины троса. В то же время, как видно из графика (слайд 13), коэффициент затухания обратно пропорционален длине троса. Тогда, согласно (**), уменьшение энергии за период пропорционально длине троса. Таким образом, с увеличением длины троса, рассеивание энергии его колебаний увеличивается, однако сама эта энергия растет быстрее, чем скорость рассеяния.

В реальной конструкции неизбежны погрешности задания тех или иных ее параметров. Это приводит к отклонению параметров системы от оптимальных, и, следовательно, увеличению времени гашения колебаний.

Оценить, насколько уменьшится значение целевой функции при отклонении параметров системы от оптимальных, можно с помощью графиков ее зависимости от параметров, в значительной степени определяющих экстремум. Так на слайде 15 линиями уровня показаны значения целевой функции в окрестности резонанса "спутник-маятник" в зависимости от расстояния от центра масс спутника до шарнирной точки и расстояния от центра масс приставки до шарнирной точки в процентах их отклонения от резонансных значений. Видно, в частности, что данный резонанс гораздо более чувствителен к изменению параметра , чем .