Способы решения тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»

Способы решения тригонометрических уравнений

Выполнила

учитель математики

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6

г. Чебоксары»

г. Чебоксары

2008

Введение.

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.

На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

·  знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;

·  развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;

·  развитие творческих способностей;

·  повышение интереса к предмету;

·  повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;

·  оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Особенность методической разработки.

Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

Содержание.

1.  Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4

2.  Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.  Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.  Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.  Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

6.  Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8

7.  Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8.  Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9.  Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13

10.  Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11.  Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Тригонометрические уравнения.

1.  Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

2.  Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx- вполне благополучная операция.

Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это - квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Формулы

позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;

Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим

Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим

Уравнения для самостоятельного решения:

V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

Использование формул:

при решении тригонометрических уравнений.

Пример.

Уравнения для самостоятельного решения:

VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Пример. Решить уравнение

Решение.

Уравнения для самостоятельного решения:

VII. Уравнения вида

Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .

Пример.

Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда

Уравнения для самостоятельного решения:

VIII. Уравнения смешанного типа

1. Решите уравнения:

Образец решения: Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

y x Ответ:

а) Ответ:	в) Ответ:
б) Ответ:	г) Ответ:

2. Решите уравнения.

Образец решения:	y x
Не удовлетворяет условию	Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию Ответ:

а) Ответ:	в) Ответ:
б) Ответ:	г) Ответ:

3. Решите уравнение.

Образец решения: Данное уравнение равносильно системе: Решим второе уравнение системы: не удовлетворяет условию Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .

y Ответ:

4.  Решите уравнения.

Образец решения: Число корней на . Выбор корней проведём на тригонометрической окружности. Число решений на равно 5.

y x     Ответ: 5

а) Найти число решений на . Ответ: 7.	б) . Найти число решений на Ответ: 7
в) Найти число решений на . Ответ: 4.	г) . Найти число решений на . Ответ: 3.

5.  Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» - .

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.

Аналогичная ситуация с формулами

Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.

Примерами таких формул являются:

Образец решения:

Ответ:

а) . Ответ: .	в) . Ответ: .
б) . Ответ: .	г) . Ответ: .

IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).

Уравнения, приводимые к алгебраическим.

Уравнения, решаемые способом разложения на множители.

Однородные уравнения.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения вида .

Уравнения смешанного типа.

1.

2.Найти наименьший корень уравнения на интервале

3.

Тест. Решение тригонометрических уравнений.

1. Найдите корни уравнения на интервале .

а) ; б) ; в) .

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

а) ; б) ; в) .

3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу

а) ; б) ; в) .

4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .

а) ; б) ; в) .

Задания для итогового контроля результатов обучения.

Контрольная работа.

1. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите сумму корней управления

на промежутке .

3. Укажите количество корней уравнения

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

Ответы:

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;

б) .

X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.

Решите уравнение . (С2,2007г.)

Решение:

ОДЗ уравнения:

Используя способ разложения на множители, получим

или .

не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.

.

Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:

С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:

Литература

1.  , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.

2.  , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.

3.  Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.

4.  , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.

5.  . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.

6.  . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.

7.  , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.

8.  и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.