Длины ломаных

ДЛИНЫ ЛОМАНЫХ.

Определения.

1.Пучком называем совокупность направленных отрезков, векторов, квазивекторов или звеньев ломаной, как угодно ветвящейся.

2.Номой пучка называем сумму норм (длин) его элементов.

3.Если в направлении, задаваемом ортом(единичным вектором) сумма модулей проекций элементов пучка P строго больше нежели таковая пучка Q, то говорим, что P мажорирует(строго мажорирует) Q по , , и пишем P/³Q/( P/>Q/).

4. Если указанное свойство выполняется по всем направлениям, то пишем P/³Q/ , (соответственно, P/>Q/) и говорим, что P изотропная мажоранта для Q.

5.Осреднение - среднеарифметическая проекция евклидова отрезка по сфере.

Применены метод осреднения проекций евклидова отрезка по сфере и метод упорядочения совокупности проекций на данную прямую. В частности, доказано неравенство, связывающее суммарную длину отрезков для каждой из двух совокупностей одинакового числа вершин и суммарную длину отрезков между вершинами первой и второй.

1.Неравенство для отрезков-ребер полного графа с четным числом вершин.

Пусть в евклидовом пространстве отмечено одинаковое количество черных {X1,..,Xm}и белых {Y1,...,Ym} точек, обозначенные здесь своими радиус-векторами. Всевозможные отрезки между этими точками образуют 3 пучка : черный пучок Xº{Xi-Xj;1£ i<j£ m}, белый пучок

Yº{Yi-Yj;1£ i<j£ m} и двуцветный пучок (X´Y) º{Xi-Yj;1£ i£ m,1£ j£ m }.В каждом одноцветном пучке по m(m-1):2 элементов, а в двуцветном m´m. Нижеследующая терема утверждает, что при несовпадении черных и белых как двух множеств(неупорядоченных) норма

двуцветного пучка строго больше суммы норм одноцветных пучков (при совпадении эти величины, очевидно, одинаковы).Сформулируем основную теорему в изначально общепринятых терминах.

Теорема 1.Если два набора одинаковых количеств точек евклидова пространства не совпадают, то сумма расстояний между точками разных наборов строго больше суммы всех внутринаборных расстояний:

({i;iÎ1,m}){j;jÎ1,m}))Þ ½i-j ½> (ïi-j ï+½i -jï). (1)

Для доказательства Теоремы 1 понадобятся две вспомогательные теоремы, поэтому сначала рассмотрим их и все необходимые пояснения.

Прежде чем определить Теорему 2 следует обратить внимание на Среднею арифметическую проекцию евклидова отрезка.

Отрезок длины a, в случае надобности рассматриваем его как вектор или квазивектор =, определенный с точностью до знака.

Осреднение осесимметричной функции по сфере.

Пусть гипер-площадь гиперповерхности гипер-сферы единичного радиуса в евклидовом пространстве Е размерности N (EN).Коротко называем коэффициент, т. к. для радиуса r, очевидно, имеем:

(r)= ´ , =´/N (площадь и объем соответствующего шара).

Таким образом, осесимметричная величина f(b), 0£b£p(см. рис. ниже) осредняется по единичной сфере согласно формуле:

´ºò f d=´ f(b)´db; N³2, (2)

=2, причем полагая fº1 из (2) последовательно получим конечных N, и для получения стандартного среднеарифметического следует результат суммирования (интеграл в(1)) величины f разделить на то же для единицы, т. е. на .

Итак Теорема 2. Среднеарифметическая проекция евклидова отрезка по единичной сфере пропорциональна длине отрезка, причем коэффициент зависит только от размерности пространства:

º=(2/ N-1)´ ôô´/ ; N³1, (ôôºa ³ 0), (3)

где аксиоматически положено: (/N-1)º1, а =2 очевидно ,т. к. это диаметр.

Доказательство. При N ³2, когда единичный вектор пробегает поверхность единичной сферы,

из (2) имеем: º=ôô´/´ f(b)½cosb½db

Ч. Т.Д

Рассмотрим частный случай N=2:

÷ проекция aô=ôaô´ôcosbô

ôпроекция aô= aôcosbôdb= 4a cosbdb= 4a

Замечание. Благодаря симметрии легко показать, что та же формула (3) сохраняется при осреднении по любой относительно направления полусфере.

Теперь перейдем ко второй вспомогательной теореме:

Теорема 3. Если первый пучок изотропная мажоранта второго и хотя бы по одному направлению мажорирование строгое, то норма первого пучка строго больше пучка второго :

(("¹0)(P/³Q/)($¹)(P/³Q/)Þ(÷÷P÷÷³½½Q).

Доказательство. Следует из Теоремы 2 путем осреднения по единичной сфере данного по условию неравенства /Q/³0, с учетом непрерывности проекции как функции точки на единичной сфере.

Так как две вспомогательные теоремы рассмотрены можно перейти к доказательству Теоремы 1.

Доказательство на языке пучков. Отметим, что обе части неравенства сохраняются при любых изменениях внутринаборных нумераций, т. е. можем считать:

X1£X2£X3£….£Xm; Y1£Y2£Y3£….£Ym, (4)

где числа Xi, Yj означают координаты проекций соответствующих точек наших наборов, перенумерованных так, что имеются указанные упорядоченности, таким образом для произвольного направления проектирования получаем: (X´Y)/ -X/ -Y/º½i-j ½- - (ïi-j ï+½i -jï)= (5)

=ôXk-Ykô+ ((½i-jô+Xi-Yj)+( ½j-iô-Xj+Yi))³ ôXk-Ykô³0, т. к. ôXô X ³0 для всех чисел.

В силу взаимно однозначного соответствия между векторами и их координатами, последнее неравенство в строгое хотя бы по одному направлению (более того:хотя бы по одному из n наперед заданных попарно ортогональных в En ), и из Теоремы 2 следует требуемое.

Некоторые замечания.

-1. Евклидовость в Теореме 1 по существу. Для ясности вспомним определения общего понятия расстояния(метрика) и, в частности, порождающей метрику нормы:

1.1.В метрическом(точечном. Не обязательно векторном ) пространстве метрика r(p, q) задается как симметричная (r(p, q)=r(q, p)) , положительно определенная (r(p, q)³0, r(p, q)=0Þ(pºq)), выпуклая (r(p, q)£r(p, r)+r(r, q)-неравенство треугольника) функция пары точек. Если для трех различных точек неравенство треугольника вырождается в равенство, то, по определению, все три точки лежат на одной геодезической (аналог прямой).

Пример: обычная сфера, на которой расстояние измеряется как наименьшая

(из, как минимум, двух возможных) длина дуги большого круга, соединяющая две данные точки. Здесь неравенство (1) может нарушится уже при m=2 :оно становится равенством, если две черные есть концы одного диаметра сферы, а белые,- другого. Это порождено, софокусностью пары точек, когда геодезическая между ними не единственна (здесь это любой меридиан между точками-полюсами).

-2.Норма в нормированном (векторном)пространстве задается как суперлинейная, т. е.: абсолютно однородная с показателем единица(÷÷l´÷÷=÷l÷´÷÷÷÷, где l число), положительно определенная(³0,(( =0)Þ( º , - нуль-вектор))), выпуклая (÷ú£+÷÷,

причем равенство лишь причем ÷÷). Норма разности порождает метрику, если назвать нулевой точкой. В численном анализе популярны координатные Lp –нормы, когда в избранной координатной сетке норма вектора =(X1,..,Xn) вычисляется по формуле:

, p³1; т. е. норма L2-евклидова. Норма L¥ получается из Lp –нормы в пределе при p® +¥, т. е. L¥ = MAX{ú X1ú…,úXnú}.Ниже изображены на рис.1 единичные окружности (сферы в двумерных L1 иL¥).Теорема 1 для m=2 доказывается из неравенства треугольника. Но для уже для m=3 теорема неверна, как показывает следующий контрпример(рис.2).

рис.2

(2) (2)

L¥ рис.1 L 1

2.1.Контрпример в L1:

SúúБ, Бúú L1=S÷÷ 4,4÷÷ =8 ;

SúúБ,4úúL1=16, см. рис.2,

и неравенство (1) становится равенством, хотя нет ни одного совпадения черной и белой точек .