Разностный метод решения задачи оптимального управления
для уравнения Шредингера с вещественнозначным коэффициентом в
нелинейной части
Ленкоранский Государственный Университет (Азербайджан)
Нахичеванский Государственный Университет (Азербайджан)
Введение
При численном решении задач оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера, которые часто встречаются в нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и в других областях современной физики, техники [1-3] , важное место занимает вопрос сходимости разностного метода. В данной работе этот вопрос изучается для решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с вещественнозначным коэффициентом в нелинейной части уравнения с критерием качества Лионса, когда множество допустимых управлений входит в класс квадратично-суммируемых функций. Следует отметить, что подобные вопросы в отличенной постановке ранее изучены в работах [4-6] и др., когда множество допустимых управлений входит в класс измеримых ограниченных функций. Ввиду того, что изученная в этой работе задача по постановке отличается от ранее изученных, исследование вопроса сходимости разностных аппроксимаций задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера представляет немалый интерес. .
1.Постановка и дискретизация задачи
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления о минимизации функционала:
(1)
на множестве 
при условиях
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
где 
– заданные числа, 
, а функции 
удовлетворяют следующим условиям
, 
, 
, (6)
, (7)
(8)
При принятых предположениях можем установить, что краевая задача (2)-(5) при каждом 
имеет единственное решение 
,
и справедливы оценки
, (9)
, (10)
для 
, где 
- постоянные, зависящие только от данных задачи (2)-(5). Наряду с этими можно установить, что задача оптимального управления (1)-(5) имеет хотя бы одно решение, то есть
.
Нашей целью в данной работе является исследование разностной аппроксима-ции задачи (1)-(5). Поэтому сначала проводим дискретизацию этой задачи. Введем последовательность сеток: 
, 
.
Обозначим
.
При каждом натуральном 
рассмотрим задачу о минимизации функции:
(11)
на множестве 
при условиях:
, (12)
, (13)
, (14)
, (15)
где сеточные функции 
определены следующими формулами:
, (16)
, 
, (17)
. (18)
С помощью метода сумматорных тождеств можно доказать следующую теорему об оценке устойчивости разностной схемы (12)-(15) для каждого 
;
Теорема 1. Для решения разностной схемы (12)-(15) при 
верны оценки:
, (19)
для 
, где 
- постоянная не зависит от 
.
Отметим, что если 
то из (19) получим оценку устойчивости разностной схемы для линейного уравнения Шредингера.
Выше были приведена оценка устойчивости разностной схемы (12)-(15). Теперь будем оценить погрешность аппроксимации разностной схемы (12)-(15) при каждом . С этой целью рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2)-(5) при 
:
где
. (20)
Кроме того, определим оператор 
на множестве 
формулой:
. (21)
Обозначим 
. Ясно, что 
будут удовлетворять следующей системе:
, (22)
, (23)
, (24)
, (25)
где сеточные функции 
определены формулами:
. (26)
Теорема 2. Пусть 
при 
удовлетворяет условию:
. (27)
Кроме того, пусть выполнено условие согласования: 
, где 
, 
– постоянные, не зависящие от 
и 
. Тогда верны оценки:
, 
(28)
для 
, где 
, при 
Для установления сходимости разностных аппроксимаций по функционалу сначала оценим разность исходного функционала (1) и дискретной функции (11). Используя утверждения теоремы 2 можно доказать следующую теорему:
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для 
и 
имеет место оценка:
. (29)
Для установления оценки сходимость разностных аппроксимаций еще доказано две вспомогательные леммы.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть кроме того, оператор определяется формулой (21). Тогда 
и имеет место оценка:
. (30)
Пусть оператор 
определяется со следующей формулой:
, (31)
где 
компоненты вектора 
.
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть кроме того, оператор определяется формулой (31). Тогда 
и имеет место оценка:
. (32)
Теперь сформилируем теорему о сходимости разностных аппроксимаций по функционалу.
Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и леммы 2. Пусть, кроме того, 
и 
являются решениями задач (1)-(5) и (11)-(15), соответственно. Тогда последовательность разностных задач (11)-(15) аппроксимирует задачу (1)-(5), то есть
(33)
и справедлива оценка сходимости:
, (34)
где 
.
Доказательства этой теоремы проводится методикой работы [7].
Литература
1. , Шмальгаузен адаптивной оптики. – М.: Наука, 1985. – 336с.
2. еория сверхпроводимости. Основы и приложения. – М.: Мир, 1975. – 361с.
3. Разгулин задач управления для нелинейного уравнения Шредингера // Вестн. Московск. ун-та. - сер.15. - вычисл. матем. и киберн. - 1988. - №2. - С.28-33.
4. Ягубов метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера // В сб.: Математическое моделирование и автоматизированные системы. - Баку. Изд-во Бакинск. ун-та. - 1990. - С.53-60.
5. Ягубов управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера // Докторск. дисс. - Киев. - 1994. - 318 С.
6. , Мусаева метод решения вариационной постановки одной обратной задачи для нелинейного уравнения Шредингера // Изв. АН Азерб. Сер. физ.-тех. и матем. наук. - 1995. - Т. XVI, №1-2. - С.46-51.
7. Васильев решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981. - 400с.
