Х. Х. Имомназаров, д-р ф.-м. наук
Ин-т вычислительной математики и
математической геофизики СО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр-т Лаврентьева, 6,
тел.(383) 3308352, Е-mail: *****@***sscc. ru )
А. А. Михайлов, к. ф.-м. наук
Ин-т вычислительной математики и
математической геофизики СО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр-т Лаврентьева, 6,
тел.(383) 3306046, Е-mail: *****@***sscc. ru )
Применение интегрального преобразования Лагерра для решения двухмерной динамической задачи для пористых сред
Введение
Сейсмические методы, основанные на распространении сейсмических волн в акустической или идеально упругой среде, успешно применялись к различным геофизическим задачам для идентификации геологических структур. В таких исследованиях, свойства поровой жидкости типа плотности, модуля объёмной деформации, флюидонасыщенность и вязкость игнорировались. Пористая среда, состоящая из упруго-деформируемой матрицы, заполненной вязкой жидкостью, является реалистической моделью, которая позволяет объяснять наблюдаемые эффекты сейсмических исследований свойств горных пород при наличии поровой жидкости. В последние годы, численное моделирование распространения сейсмических волны в флюидонасыщенных жидкостью пористых средах, получило значительное внимание из-за его практического применения в различных областях задач геофизики, биомеханики и нефтяной разработки. На основе математической модели, как правило, используется модель Френкеля-Био [1, 2]. Особенностью этих моделей является, наряду с распространением поперечной и продольной сейсмических волн, наличие дополнительной второй продольной волны. Скорости распространения таких волн являются функциями четырех упругих параметров в теории Френкеля-Био для заданных значений физических плотностей матрицы, жидкости и пористости [1, 2]. В 1989 году [3], основываясь на общих первых физических принципов, построил нелинейную математическую модель для пористых сред. Так же как в теории Френкеля-Био в модели есть три типа звуковых колебаний: поперечный и два типа продольных. В отличие от моделей типа Френкеля-Био в линеаризованной модели среда описывается тремя упругими параметрами [4, 5]. Эти упругие параметры взаимнооднозначно выражаются тремя скоростями упругих колебаний. Это обстоятельство является важным для численного моделирования распространения упругих волн в пористых средах, когда известны распределения скоростей акустических волн и физических плотностей матрицы, насыщающей жидкости и пористости.
Конечно-разностные методы решения задач для системы уравнений Био были сформулированы несколькими способами: центрально-разностный метод в терминах смещений [6], предиктор-корректор метод для системы уравнений скоростей-напряжений [7]. Полуаналитический метод для системы уравнений Био в терминах смещений предложен в работе [8].
В данной работе численно решается система линеаризованных уравнений пористых сред из [4, 5] в отсутствии диссипации энергии в двумерном случае. Исходная система записывается в виде гиперболической системы в терминах скоростей матрицы, скорости насыщающей жидкости, тензора напряжений и давления жидкости. Для численного решения поставленной задачи используется метод комплексирования аналитического преобразования Лагерра и конечно-разностного метода. Данный метод решения динамических задач теории упругости был впервые рассмотрен в работах [9, 10], а затем развит и для задач вязкоупругости [11, 12]. Предлагаемый метод решения можно рассматривать как аналог известного спектрально-разностного метода на основе Фурье-преобразования, только вместо частоты w мы имеем параметр m - степень полиномов Лагерра. Однако, в отличие от Фурье, применение интегрального преобразования Лагерра по времени позволяет свести исходную задачу к решению системы уравнений, в которой параметр разделения присутствует только в правой части уравнений и имеет рекуррентную зависимость.
1. Постановка задачи
Пусть полуплоскость 
заполнена пористой средой насыщенной жидкостью. Тогда распространение сейсмических волн в данной среде при отсутствии потери энергии описывается следующей начально-краевой задачей [4, 5, 13]:
(1)
(2)
(3)
где 
и 
- вектора скорости упругого пористого тела с парциальной плотностью 
и жидкости с парциальной плотностью 
соответственно, 
- поровое давление, 
- тензор напряжений, 
- вектор массовых сил, 
, 
, 
и 
- физические плотности упругого пористого тела и жидкости соответственно, 
- пористость, 
- символ Кронекера, 
,
коэффициенты Ламе, 
, 
- модуль объемного сжатия жидкой компоненты гетерофазной среды. Упругие модули 
, 
, 
выражаются через скорость распространения поперечной волны 
и две скорости продольных волн
следующими формулами [14, 15]:
,
,
.
2. Алгоритм решения
Для решения поставленной задачи (1)-(3) применим интегральное преобразование Лагерра по времени:
, (4)
с формулами обращения
, (5)
где 
- функции Лагерра.
В результате данного преобразования исходная задача (1)-(3) сводится к двумерной пространственной дифференциальной задаче в спектральной области.
,
,
, (6)
, 
.
Для решения приведённой задачи воспользуемся конечно-разностной аппроксимацией производных по пространственным координатам на сдвинутых сетках с 4-ым порядком точности [16]. Для этого, в расчетной области введем в направлении координаты 
сетки 
и
с шагом дискретизации 
, сдвинутые относительно друг друга на 
:
.
Аналогично, введем в направлении координаты 
сетки 
и 
с шагом дискретизации 
, сдвинутые относительно друг друга на 
:
.
На данных сетках введем операторы дифференцирования 
и 
, аппроксимирующие производные 
и 
с четвертым порядком точности по координатам и :
,
.
Определим искомые компоненты вектора решения в следующих узлах сеток:
,
,
,
.
В результате конечно-разностной аппроксимации задачи (6) получим систему линейных алгебраических уравнений. Представим искомый вектор решения 
в следующем виде:
,
.
Тогда, данная система линейных алгебраических уравнений в векторной форме может быть записана как:
.
В результате, матрица системы сведённой задачи имеет хорошую обусловленность, что позволяет использовать быстрые методы решения систем линейных алгебраических уравнений на основе итерационных методов, типа сопряжённых градиентов, сходящиеся к решению с требуемой точностью всего за несколько итераций.
3. Численные результаты
В данной статье представлены численные результаты моделирования сейсмических волновых полей для тестовой модели среды. Заданная модель среды состоит из двух однородных слоёв: верхний слой – упругая среда, нижний – пористая среда. Физические характеристики слоёв были заданы следующими:
1) верхний слой - 
г/см3, 
км/сек, 
км/сек;
2) нижний слой - 
г/см3, 
г/см3, 
км/сек, 
км/сек, 
км/сек, 
.
Толщина верхнего слоя - 18 км. Волновое поле моделировалось от точечного источника типа центра расширения с координатами 
км, 
км, находящегося в верхнем упругом слое. Временной сигнал в источнике задавался в виде импульса Пузырёва с несущей частотой 1 
.
Результаты численных расчетов волнового поля для заданной модели среды представлены на рисунке 1. На данном рисунке изображен мгновенный снимок волнового поля для вертикальной компоненты скорости смещений 
в фиксированный момент времени при 
= 12 сек. Из рисунка видно, что при падении продольной волны, излучаемой источником типа центра расширения, на границу раздела слоёв образуются соответствующие типы волн для упругой и пористой среды. В верхнем слое - продольная и поперечная волна, а в нижнем пористом слое – две продольных и одна поперечная волна.
Рисунок 1. Мгновенный снимок волнового поля для компоненты скорости смещений в момент времени = 12 секунд.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-05-65110), проекты РАН № 16.12 и СО РАН № 42, а также грантом Фонда содействия отечественной науке ("Доктора наук РАН").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофизика. 1944. т.8, №.4. С. 133-146.
2. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. low-frequincy range // The Journal of the Acoustical Society of America. 1956, v. 28. P. 168-178.
3. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. 1989. №7. С. 39-45.
4. , , Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва. 1993. № 1. C. 100-111.
5. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. Nova Science. New York. 1995.
6. Zhu X., McMechan G. A. Numerical simulation of seismic responses of poroelastic reservoirs using Biot theory // Geophysics, 1991, v. 56. P. 328-339.
7. Dai N, Vafidis A., Kanasewich E. R. Wave propagation in heterogeneous, porous media: a velocity-stress, finite-difference method // Geophysics, 1995, v. 60. P. 327-340.
8. Philippacopoulos A. J. Lamb's problem for fluid-saturated porous media // Bull. Seism. Soc. Am., 1988, v. 78. P. 908-923.
9. Konyukh G. V., Mikhailenko B. G. Application of integral Laguerre transformation for solving dynamic seismic problem // Bull. Of the Novosibirsk Computing Center, series: Mathematical Modeling in Geophysics, Novosibirsk, 1998, № 4. P. 79-91.
10. Mikhailenko B. G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems // Applied Mathematics Letters, 1999, № 12. P. 105-110.
11. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., Reshetova G. V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // Pure apll. geophys., 2003, № 000. P. 1207-1224.
12. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., Reshetova G. V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophysical Prospecting, 2003, № 51. P. 37-48.
13. Imomnazarov Kh. Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium: I. Excitation of Oscilations of the Magnetic Field by the Surface Rayleigh Wave // put. Modelling. 1996. Vol. 24, № 1. P. 79-84.
14. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН. 2000, Т. 373, № 4. С. 536-537.
15. Imomnazarov Kh. Kh. Some Remarks on the Biot System of Equations Describing Wave Propagation in a Porous Medium // Appl. Math. Lett. 2000, v. 13, № 3. P. 33-35.
16. Levander A. R. Fourth order velocity-stress finite-difference scheme // Proc. 57-th SEG Annual Meeting. New Orleans, 1987. P. 234 - 245.
