Свободные изгибные колебания кессона при локальных вязких течениях в материале

СВОБОДНЫЕ ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КЕССОНА
ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЯХ В МАТЕРИАЛЕ

М. Г. Петров

Сибирский научно-исследовательский институт авиации имени С. А. Чаплыгина,
630051, Новосибирск,
e-mail: *****@***ru

Введение

При свободных и вынужденных колебаниях систем, как правило, пользуются приближённым описанием неупругих деформаций материала [1, 2], представляя его реологические свойства в виде суммы упругой и вязкой составляющих, что соответствует модели Кельвина (или Фойгта) – K-телу [2–4]. Это является неверным отображением свойств материала, не позволяющим правильно рассчитать нагруженность систем при широкополосном спектре возмущений и, как следствие, оценить ресурс нагруженной конструкции. В каждом частном случае путём подбора фиктивных параметров демпфирования в такой модели можно получить приблизительное решение для гармонических колебаний. Но при этом появляются погрешности, которые не всегда приемлемы. Требуется такое описание реологических свойств материала, которое соответствовало бы его реальным демпфирующим характеристикам.

Объект исследования и реологические свойства материала

Рассмотрим задачу свободных изгибных колебаний консоли крыла летательного аппарата, представленной тонкостенной конструкцией в виде кессона размером 1´10 м и высотой 0,1 м с постоянной изгибной жёсткостью и массовой плотностью 100 кг/м3. В качестве модели материала используется модель стандартного неупругого тела, описывающая локальные течения в материале и названная моделью Зинера (Ze-тело [5]). Данная модель эквивалентна модели Пойнтинга-Томсона, которую использовал Зинер [6].

ã Петров М. Г., 2011

Материал обшивки кессона может быть металлическим сплавом или композиционным материалом. Амплитудные зависимости неупругости композиционного материала принципиально идентичны таким же зависимостям, которые наблюдаются у металлических сплавов и полимеров. При малых амплитудах гармонического нагружения раскрытие петли неупругости пропорционально амплитуде, а рассеиваемая за цикл энергия – пропорциональна квадрату амплитуды (релаксационный тип неупругости). С увеличением амплитуды дополнительно появляется неупругость гистерезисного типа, связанная с локальным пластическим течением в материале [4, 5, 7, 8].

Для системы с одной степенью свободы покажем различие в форме резонансных кривых при вынужденных колебаниях неупругих систем в случае замены модели Зинера на модель Кельвина. Решение дифференциального уравнения деформирования твёрдого тела при действии напряжений s = sa sin wt в первом случае имеет вид

,

а во втором –

.

Здесь постоянные времени релаксации при постоянных напряжениях ts будут иметь разные значения, а модуль упругости M примет промежуточное значение между релаксированным модулем MR и нерелаксированным модулем MU [4] (1/MR = 1/MU + 1/M2, а M2 – модуль упругости ячейки Кельвина в Ze-теле), чтобы петли неупругости в обоих случаях были бы близки. Тангенсы угла сдвига фаз f между напряжениями и деформациями имеют принципиально разную частотную зависимость. Для первого и второго случая равен и соответственно, что и требует подгонки фиктивных параметров для модели Кельвина. Различны значения и динамического модуля:

и .

Дифференциальное уравнение колебаний для реологической модели Ze-тела будет иметь третий порядок [4], а для K-тела – второй [2, 4]. На рис. 1 для системы с некоторыми выбранными параметрами показаны различия в коэффициентах передачи и динамичности m [2], если для максимума добиться близкого соответствия с резонансной кривой при использовании модели Зинера. Уменьшение различий, например, для приводит к их увеличению для m.

Рис.1. Зависимость разности коэффициентов передачи (1) и динамичности (2) от частоты f
при вынужденных колебаниях системы с реологическими свойствами Ze-тела и K-тела
(в процентах от максимума коэффициентов в случае модели Зинера).

Результаты исследования

Дифференциальное уравнение изгибных колебаний консоли крыла решается традиционным способом по методу Фурье [2]. Отличие результата заключается в том, уравнение форм и частот колебаний содержит не модуль упругости, не имеющий в реальном материале постоянного значения, а релаксированный модуль, соответствующий полной релаксации в материале внутренних напряжений. А уравнение затухающих колебаний имеет третий порядок при точном аналитическом решении [5]. При описании процесса колебаний системы из материала, имеющего два пика демпфирования, уравнение затухающих колебаний будет иметь четвёртый порядок, а его корни могут быть найдены только приближённо численными методами [9].

Из решения уравнения третьего порядка для перемещения в каждом сечении консоли крыла по коэффициенту затухания гармонических колебаний a и частоты b вычисляется коэффициент поглощения [2]. Полученные значения для первых двенадцати форм колебаний кессона сравним с его величинами , вычисленными по известным уравнениям Дебая для стандартного неупругого тела [4]. Результаты сравнения показаны на рис. 2.

Рис. 2. Частотные зависимости коэффициента поглощения при одной (1) и двух (2) ячейках
Кельвина, описывающих локальные вязкие течения в материале с различием в постоянных
времени на порядок. Точки соответствуют значениям коэффициента поглощения,
вычисленным по решениям дифференциальных уравнений затухания колебаний кессона.

Заключение

Использование реологической модели стандартного неупругого тела позволяет правильно описать частотные зависимости неупругости материалов, а по аналитическим решениям отработать алгоритм численного расчёта процесса колебаний систем с разным типом демпфирования для внешнего воздействия произвольного спектра [5, 9].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. 595 с.

2.  Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

3.  Рейнер М. : Наука, 1965. 224 с.

4.  Релаксационные явления в кристаллах. М.: Атомиздат, 1975. 472 с.

5.  Демпфирование материала при колебаниях упругих систем и прогнозирование их долговечности / Доклады I Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений». Новосибирск: НГАСУ, 2008. С. 341–353.

6.  Упругость и неупругость металлов / Упругость и неупругость металлов. М: ИЛ, 1954. С. 9–168.

7.  Методы испытаний и анализа их результатов для оценки кинетики разрушения композиционных материалов // Техника и технология производства теплоизоляционных материалов из минерального сырья: докл. IX Всеросс. науч.-практ. конф., Бийск, 17–19 июня 2009 г. Бийск: БТИ АлтГТУ, 2009. С. 138–142.

8.  Упругость, неупругость и разрушение композиционных материалов // Техника и технология производства теплоизоляционных материалов из минерального сырья: докл. X Юбил. Всеросс. науч.-практ. конф., Бийск, 26–28 мая 2010 г. Бийск: БТИ АлтГТУ, 2010. С. 167–171.

9.  Прогнозирование долговечности конструкций при случайных колебаниях с учётом демпфирования материала // Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов: Тр. Всеросс. науч.-техн. конф. по аэродин. летат. аппар. и прочн. авиац. констр.,17–19 июня 2008 г. г. Новосибирск: Изд-во СибНИА, 2009. С. 202–209.