Исследование поведения электрона в комбинированных магнитных полях

Российская Федерация

Всероссийская конференция

ШКОЛЬНИКОВ

«СТАРТ В НАУКУ»

Секция Математическое моделирование в физике

Исследование поведения электрона в

Комбинированных магнитных полях.

	Автор	, 11 класс МОУ СМТЛ
Научный руководитель:	, учитель информатики МОУ СМТЛ

Самара 2012

Оглавление

Оглавление. 2

Введение. 3

Цель работы.. 3

Задачи исследования. 4

Ход работы.. 4

Цилиндрическая система координат. 6

Анализ частных случаев. 7

Исследование. 10

Введение.

Магнитная ловушка - такая конфигурация магнитного поля, которая обеспечивает нахождение заряженных частиц в определенном объеме в течение длительного времени. Магнитной ловушкой природного происхождения является магнитное поле Земли; Не будь у Земли магнитной ловушки в виде собственного магнитного поля, жизнь на планете была бы беззащитна перед потоками высокоэнергетических заряженных частиц, испускаемых Солнцем. В геомагнитной ловушке частицы совершают движение сложного характера, при котором обеспечивается их устойчивое существование в течение многих десятков лет. Огромное число захваченных и удерживаемых магнитным полем космических заряженных частиц высоких энергий (электронов и протонов) образует радиационные пояса Земли за пределами её атмосферы. В лабораторных условиях магнитные ловушки различных видов исследуют главным образом применительно к проблеме удержания смеси большого числа положительно и отрицательно заряженных частиц - плазмы. Совершенствование магнитной ловушки для плазмы направлено на осуществление с их помощью управляемой термоядерной реакции, в которой ядерная энергия лёгких элементов высвобождается не в виде мощного взрыва, а сравнительно медленно, в ходе контролируемого и регулируемого человеком процесса

Целью данной работы является:

1. Выполнить компьютерное моделирование поведения электрона в поле бесконечного проводника с током

2. Усовершенствовать модель, добавив к полю проводника постоянное магнитное поле, с направлением по току.

В рамках целей нами были решены задачи. Координаты, скорости и поля были выбраны таким образом, чтобы можно было наблюдать все особенности движения электрона в магнитной ловушке.

Задачи исследования:

Определить характер и вид траектории электрона в поле тонкого бесконечно длинного проводника с током, рассчитать параметры (радиус кривизны, шаг, особенности) траектории:

1.  для начальных координат: (30 см, 0, 0); (1 м, 0, 0); (3 м, 0, 0) при значениях проекций начальной скорости в них: (0, 3 м/с, 0,3 м/с);

(0, 30 м/с, 30 м/с); (0, 100 м/с, 300 м/с);

2.  для начальных координат: (1 м, 0, 0) при проекциях начальной скорости: (1 м/c, 0, 0); (1 м/c, 1 м/с, 1 м/с); (20 м/с, 20 м/с, 20 м/с).

3.  при наличии дополнительного однородного магнитного поля индукцией B0, направленного по току для начальных координат: (1м, 0, 0), проекциях начальной скорости: (0, 30 м/с, 30 м/с) и модулях магнитной индукции B0: 0,1 мкТл, 1 мкТл, 3 мкТл.

Начало отсчета выбрана на оси проводника, ось Oz направлена по направлению тока в проводнике. Сила тока в проводнике взята I = 1 A.

Ход работы.

В задаче предлагается рассмотреть движение электрона под действием магнитного поля тока I и дополнительного поля B0. Соответственно, мы можем записать уравнение для определения магнитного поля:

Зная магнитное поле, мы можем записать уравнение для Fл, которое будет являться уравнением движения:

 

Спроецируем полученное уравнение на оси координат:

Из системы (3-5) можно получить, что сумма квадратов скоростей постоянна. Это обусловливается тем, что работа Fл равна нулю, т. к. она перпендикулярна направлению движения, а значит энергия системы постоянна. Так же, если подставить уравнения (6,7) в 5 и проинтегрировать, то получим уравнение для скорости по оси Z (11):

 

Из уравнения (11) следует, что составляющая скорости электрона вдоль оси Z зависит только от его расстояния от проводника. Также из этого уравнения следует, что в дальнейшем удобно будет перейти от декартовой системы координат к цилиндрической.

Цилиндрическая система координат.

В новой системе координат уравнения принимают вид:

Проанализируем данную систему, разделив задачу на два частных случая:

1.  B0=0 (Дополнительное магнитное поле отсутствует)

В этом случае уравнения принимают вид:

 

Остальные уравнения не изменятся. Из преобразований следует, что угловая скорость вращения электрона вокруг Z обратно пропорциональна расстоянию до Z.

2.  I=0 (Отсутствует ток в проводнике)

Теперь рассмотрим решение данной задачи отдельно для случая когда на электрон действует только однородное магнитное поле с известным вектором электромагнитной индукции B0.

Система принимает вид:

Данная система решается аналитически:

 

Из (21-24) следует, что вектор скорости вращается в плоскости ┴ Z с постоянной угловой скоростью. Поскольку I=0, то перейдем к декартовой системе координат с параметрическим уравнением траектории:

Для решения данных систем численно были составлены следующие конечно-разностные схемы:

1. Для цилиндрической системы координат:

 

2. Для декартовой системы координат:

 

Далее эти конечно-разностные схемы записывались в программу написанную в среде free pascal и с помощью этой программы получались численные решения данной системы при заданных начальных условиях.

Исследование

Задача 1: I=1А; B0=0Тл;

Задача 1.1 : начальные координаты электрона: (0,3м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (0м/с; 3м/с; 0,3м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

z, м

r, м

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z В)

График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

I. Быстрый процесс:

II. Медленный процесс:

Задача 1.2 : начальные координаты электрона: (1м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (0м/с; 30м/с; 30м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z

В) График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

Задача 1.3 : начальные координаты электрона: (3м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (0м/с; 100м/с; 300м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z

I. Мелкий масштаб:

II. Крупный масштаб:

В) График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

Вывод по задаче 1

На основании приведенных зависимостей можно сделать вывод о том что электрон дрейфует вдоль оси Z с постоянной скоростью Vдрейфа = 1,2 ∙ 10-6 м/с (задача 1.1); Vдрейфа = 1,2 ∙ 10-3 м/с (задача 1.2) Vдрейфа = 1,3 м/с (задача 1.3). Кроме того имеет место дрейф электрона вокруг Z в перпендикулярной плоскости с постоянной скоростью Vτ = 3 м/с (задача 1.1); Vτ = 30 м/с (задача 1.2);

Vτ = 100 м/с (задача 1.3).

Задача 2: I=1А; B0=0Тл;

Задача 2.1 : начальные координаты электрона: (1м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (1м/с; 0м/с; 0м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

R=2.9×10-5 м

z, м

r, м

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z

В) График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

I. Быстрый процесс:

II. Медленный процесс:

Задача 2.2 : начальные координаты электрона: (1м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (1м/с; 1м/с; 1м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z

В) График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

I. Быстрый процесс:

II. Медленный процесс:

t, c

Задача 2.3 : начальные координаты электрона: (1м; 0м; 0м); проекции начальной скорости (20м/с; 20м/с; 20м/с);

А) График зависимости координаты Z от времени:

Б) График зависимости радиус-вектора электрона от координаты Z

В) График зависимости расстояния от электрона до проводника (радиус-вектора электрона) от времени:

I. Быстрый процесс:

II. Медленный процесс:

Вывод по задаче 2

На основании приведенных зависимостей можно сделать вывод о том что электрон дрейфует вдоль оси Z с постоянной скоростью Vдрейфа = 1,5 ∙ 10-6 м/с (задача 2.1); Vдрейфа = 1,5 ∙ 10-6 м/с (задача 2.2) Vдрейфа = 1,2∙ 10-2 м/с (задача 1.3). Кроме того отсутствует дрейф электрона вокруг проводника в перпендикулярной плоскости в задаче 2.1, но имеет место дрейф электрона вокруг оси Z в перпендикулярной плоскости с постоянной скоростью Vτ = 1 м/с (задача 2.2); Vτ = 20 м/с (задача 2.3).

Задача 3: I=1А; B0=0.1мкТл; B0=1мкТл; B0=3мкТл;

1. Проверка алгоритма при I=0;

2. Получаем зависимость Y(x) при B0=0.1 мкТл;

3. Зависимость Y(x) при B0=1 мкТл ;