Контрольная работа № 5
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
2. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем 
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
5. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
7. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Отсюда:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем 
:
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
Находим производные:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Отсюда:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Контрольная работа № 6
Ряды, их применение.
Раздел 1. Числовые ряды.
2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.
5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл не существует, то ряд расходится.
7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.
Раздел 2. Степенные ряды.
2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Находим R:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Раздел 3. Приложение степенных рядов.
3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.
2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует 
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как 
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны, 
Сравнивая значения 
Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:
5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует 
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как 
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны,
Сравнивая значения 
7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует 
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как 
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны,
Сравнивая значения 
Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:
