Функции Шура

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

« Функции Шура »

Предметная область – информатик-математическая

Автор работы:

,

10 класс

ГУО «Гимназия №56 г. Гомеля»

Руководитель работы:

,

ст. преподаватель кафедры математического анализа УО «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

г. Гомель, 2017 г.

Содержание

Введение. 2

1 Функции Шура нулевого типа. 3

2 Функции Шура первого типа. 6

Заключение. 7

Список используемой литературы………………………………………….7

Введение

Целью исследования данной работы является неравенство Шура:

Для и для произвольного действительного верно неравенство

Введем определения.

Функцией Шура нулевого типа будем называть такие функции , что для положительных действительных чисел будет верно неравенство

Функциями Шура первого типа будем называть такие функции , что для положительных действительных чисел будет верно неравенство

Целью данной работы является описание функций Шура нулевого и первого типа.

1 Функции Шура нулевого типа

Введем обозначение .

Теорема 1. Пусть возрастающая (не строго) функция такая, что , тогда функция есть функция Шура нулевого типа.

Доказательство.

Не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда

Совершим ряд преобразований.

Сумма этих двух неравенств дает (1). ■

Теорема 2. Пусть убывающая (не строго) функция такая, что , тогда функция есть функция Шура нулевого типа.

Доказательство.

Не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда

Совершим ряд преобразований.

Сумма этих двух неравенств дает (1). ■

Следующая теорема является следствием теорем 1 и 2, но она является очень полезной.

Теорема 3. Пусть представима в виде суммы монотонных функций таких, что , тогда функция есть функция Шура нулевого типа.

Доказательство.

Поскольку по теоремам 1 и 2

то . ■

Покажем, что условие , нельзя ослабить. Действительно, пусть , тогда выбрав , мы получим, что (1) не выполняется.

Следующий пример показывает, что условия недостаточно для выполнения (1).

Пример 1.

Положив , , мы получим, что неравенство (1) не выполнено.

На самом деле понятно, что любую подходящую функцию можно представить в виде суммы не более двух не строго монотонных функций, поскольку сумма возрастающих функций есть возрастающая функция, а сумма убывающих – убывающая.

Попробуем разобраться, какие классы функций скрываются за данным представлением.

Определение. Функция называется выпуклой, если ее надграфик выпуклое множество.

Следствие 1. Пусть выпуклая функция такая, что , тогда функция есть функция Шура нулевого типа.

Доказательство.

Если функция монотонна, то по теореме 1 и 2 она является функцией Шура нулевого типа. Если же на она является убывающей (не строго), а на она является возрастающей (не строго), то функцию можно представить в виде где ,

Очевидно, что и попадают под теоремы 1 и 2, поэтому утверждение доказано. ■

Определение. Функция называется квазивыпуклой на , если и выполняется неравенство .

Любая выпуклая функция является квазивыпуклой функцией.

Примеры квазивыпуклых, но не выпуклых функций: , .

Пример квазивыпуклой функции, не являющейся выпуклой:

Следствие 2. Пусть квазивыпуклая функция такая, что , тогда функция есть функция Шура нулевого типа.

Если функция монотонна либо на является убывающей (не строго), а на возрастающей (не строго), то доказательство

аналогично. Если же функция будет иметь три промежутка монотонности, то они должны быть последовательно различными, иначе случай сводится к предыдущему. Но в этом случае найдутся такие три точки ( что что противоречит квазивыпуклости. ■

Существуют ли функции Шура нулевого типа не попадающие под условия теоремы 3? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4. Функция является функцией Шура нулевого типа тогда и только тогда, когда функция является квазивыпуклой и

В одну сторону доказательство очевидно, докажем в другую сторону. Предположим, что существует функция, не являющаяся квазивыпуклой, но являющаяся функцией Шура нулевого типа. Но, как следует из теоремы Ворницу-Шура, функция должна удовлетворять условию квазивыпуклости. ■

2 Функции Шура первого типа

Теорема 5. Если функция Шура нулевого типа, а функция есть возрастающая на (не строго) нечетная функция такая, что , то , — функции Шура первого типа.

Доказательство.

Тогда не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда

Совершим ряд преобразований.

Сумма этих двух неравенств дает (2). ■

Замечание. Если функция f такая, что , то она также является функцией Шура первого типа. Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.

Замечание. Если то найдутся такие , что неравенство (2) не будет верным.

Утверждение. Функции являются функциями Шура первого типа.

Вопрос о том, есть ли иные функции Шура первого типа, пока остается открытым.

Заключение

Как и исходное, неравенство Шура верно для пяти переменных, так и все полученные результаты будут справедливы для обобщения неравенств (1) и (2) на случай пяти переменных.

Не сложно показать, что обобщение неравенства (1) не будет верным для другого числа переменных отличных от 3 и 5. Но будут ли какие-то другие функции Шура первого типа для большего числа переменных, остается открытым вопросом.

Список используемой литературы:

The Vornicu-Schur inequality and its variations by Darij Grinberg.