Задача 1

Задача 1.

Определить оптимальный запас агрегатов на АТП, если известно, что ежедневно при ремонте требуется не более n однотипных агрегатов, причем вероятности того, что агрегаты потребуются для ремонта в течение смены, равны Pi.

Исходные данные для решения задачи для варианта 4:

- количество агрегатов, n = 3;

- вероятность потребности агрегатов в течение смены, Pi:

- ни одного, P0 = 0,05;

- одного, P1 = 0,10;

- двух, P2 = 0,50;

- трёх, P3 = 0,35.

Решение

При организации на складе запаса могут применяться стратегии Аi, определяющие количество агрегатов на складе. Количество хранимых на складе агрегатов численно равно номеру i стратегии Аi.

При выполнении ремонтных работ реально осуществляются состояния Пj, определяющие реальное число потребных агрегатов для ремонта за одну смену. Количество потребных для ремонта агрегатов численно равно номеру j состояния Пj.

Каждому сочетанию стратегий Аi и состояний Пj соответствуют выигрыши аij, которые рассчитывают для стороны А из следующих условий:

- отсутствие необходимого агрегата как ущерб в три условные единицы, т. е аij = -3;

- хранение одного невостребованного узла оценивается как ущерб в одну единицу, т. е. аij = -1;

- удовлетворение потребности в одном агрегате - как прибыль в две единицы, т. е. аij = +2.

По условиям задачи составим платежную матрицу в виде таблицы 1 с формированием запасов агрегатов.

Таблица 1. Выигрыши для сочетаний стратегий.

Стратегия стороны Аi (количество агрегатов на складе)	Необходимое для ремонта число агрегатов nj при стратегии Пj	Минимальный выигрыш по стратегиям (минимумы строк) αi
П0	П1	П2	П3
n0 = 0	n1 = 1	n2 = 2	n3 = 3
А0 (n0 = 0)	0	-3	-6	-9	-9
А1 (n1 = 1)	-1	2	-1	-4	-4
А2 (n2 = 2)	-2	1	4	1	-2
А3 (n3 = 3)	-3	0	3	6	-3
Максимальный выигрыш (максимумы столбцов) βj	0	2	4	6

При известных вероятностях Pj каждого состояния выбирается стратегия Аi, при которой математическое ожидание выигрыша будет максимальным. Для этого вычисляют средний выигрыш по каждой строке для i-ой стратегии:

.

Оптимальной стратегии соответствует максимальное значение а0. В таблице 2 приведены результаты расчета выигрыша при различном сочетании стратегий А и состояний П.

Таблица 2. Матрица выигрышей.

Стратегия стороны Аi	П0, n0 = 0	П1, n1 = 1	П2, n2 = 2	П3, n3 = 3	Средний выигрыш при стратегии
А0 (n0 = 0)	0	-3	-6	-9	-6,45
А1 (n1 = 1)	-1	2	-1	-4	-1,75
А2 (n2 = 2)	-2	1	4	1	+2,35
А3 (n3 = 3)	-3	0	3	6	+3,45 =
Вероятности состояний Pj	0,05	0,10	0,50	0,35

Из анализа матрицы выигрышей следует, что оптимальной в данной задаче является стратегия А3, которая сводится к созданию на складе фонда в три агрегата (n3 = 3).

Задача 2.

За 10 лет работы определить число замен подвижного состава АТП объемом А = 100 единиц при случайном списании автомобилей, если известно, что распределение наработок до списания подчиняется нормальному закону, который характеризуется средним сроком списания автомобилей tсп = 5 лет и средним квадратическим отклонением срока их списания σ = 1,0 год.

Решение

Вычислим вспомогательную величину отношения:

.

Определим число замен автомобилей в парке в результате списания.

Фактическое максимальное время наработки на списание

.

Фактическое минимальное время наработки на списание

.

Поэтому число замен автомобилей в течение первого года работы парка равно нулю, т. е. Ω(i=1) = 0. Расчёт начинаем с i = 2 года.

В случае нормального закона распределения наработки до списания автомобиля функция потока замен будет

,

где k – номер по счёту замены автомобиля;

i – календарное время работы автопарка, i = 10 лет;

tсп – средняя наработка до списания автомобиля, tсп = 5 лет;

σ – среднеквадратическое отклонение наработки (срока списания), σ = 3 года;

Φ(z) – нормированная функция для , которая берется из таблиц нормированной функции нормального распределения.

Функция нормального распределения определяется равенством

.

Для вычисления значений функции Ф в таблице находят значение нормированной функции распределения

.

Искомое значение функции распределения вычисляется по формуле

При календарном сроке работы парка i = 2 года:

- число первых замен составит

;

- число вторых замен составит

.

Подобные расчеты проводим для i = 3; 4; 5; … tсп лет, где tсп – срок службы парка автомобиля данной конструкции.

Например, при продолжительности работы парка i = 8 имеем:

- число первых замен:

;

- число вторых замен:

;

- число третьих замен:

,

т. е. общее число замен на один инвентарный автомобиль

.

Это удельное (на один автомобиль) число замен автомобилей за 8 лет существования парка.

Так как шаг календарного времени принят в один год, то число списаний (и поставок) автомобилей Асп = ωi·Ai. Результаты расчетов для парка в 100

автомобилей приведены ниже в таблице.

Таблица. Определение числа замен в парке.

Календарное время работы парка, i, годы	Ωi	ωi= Ω(i+1) - Ω(i)	Размер списания при парке в 100 ед.
1	0	0	0
2	0,001	0,001	0,1
3	0,020	0,020	2
4	0,160	0,140	14
5	0,500	0,340	34
6	0,880	0,380	38
7	0,990	0,110	11
8	1,080	0,090	9

Использование закономерностей восстановления позволяет определять размеры необходимых поставок по годам (i), обеспечивающих постоянный списочный состав парка.