Методическая разработка урока

Тема:

Производная. Исследование функции на монотонность, нахождение экстремумов функции.

(Метапредмет «Задача» Алгебра и начала анализа, 11 класс)

, учитель математики

МБОУ Струго-Красненская средняя

общеобразовательная школа,

п. Струги Красные

Аннотация

Данная тема «Производная. Исследование функции на монотонность, нахождение экстремумов функции» по программе 10 класса действующего учебника по алгебре и началам анализа под редакцией . Это урок обобщения и систематизации знаний. Тема рассматривается в три этапа:

1.  Определение значений производной, при которых производная функции равна нулю, больше нуля или меньше нуля (учащиеся могут находить производную и решать уравнение и неравенства)

2.  Определение по графику свойств производной функции и построение графика по свойствам производной функции

3.  Непосредственное исследование функции с помощью производной и построение графика.

На данном уроке представлен второй этап – это определённая работа с графиком функции.

В заданиях В8 ЕГЭ часто встречаются вопросы:

- Указать количество промежутков возрастания (убывания) функции.

- Указать наибольшую длину промежутка возрастания функции.

- Указать количество точек максимума или минимума функции и т. д.

При выполнении таких заданий учащиеся обычно испытывают затруднения. Для лучшего усвоения материала на уроке используется игра «Домино» и презентация. Для проверки формирования навыков к концу урока предлагается самостоятельная работа. Во время урока каждый учащийся имеет возможность получить оценку. Неудовлетрорительные оценки на этом уроке я не выставляю.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цели урока:

·  Обобщение и систематизация знаний по теме

·  Научить проводить анализ условия задачи

·  Уметь выделять главный вопрос задачи

·  Научить выстраивать шаги решения

·  Конструировать способ решения на основе имеющихся знаний и обосновывать свой выбор

·  Ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся

·  Связать все имеющиеся у учащихся знания в систему, помочь им выйти на новый, более серьёзный уровень понимания

·  Провести диагностику усвоения системы знаний и её применения для выполнения практических заданий (самостоятельная работа по тестам ЕГЭ, задание В8)

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы обучения: индивидуальная работа, групповая работа.

Ход урока

Постановка цели, мотивация

Дорогие ребята, самой главной целью всех наших занятий должно стать получение вами глубоких и прочных знаний, которые позволят вам успешно сдать ЕГЭ.

Сегодняшнее занятие мы посвятим решению задач на применение производной, а именно, на исследование функции на монотонность и нахождение экстремумов функции. Такие задачи включены в задания типа В8 на ЕГЭ.

Вы должны научиться проводить анализ условия задачи и выстраивать шаги решения, выделять главный вопрос задачи, конструировать способ решения на основе имеющихся знаний и обосновывать свой выбор.

На ваших столах лежат «рабочие листы» к данному уроку, которые по итогам урока должны стать для вас опорным конспектом.

Подпишите свой лист и укажите дату проведения урока.

Итак, для решения задач нам необходимо восстановить в памяти необходимые для этого базовые знания.

Метапредмет «Задача»

Алгебра и начала анализа

Рабочий лист ученика 11-А класса

_____________________________

по теме «Производная. Исследование функции на монотонность, нахождение экстремумов функции»

Актуализация знаний (в пункте «Актуализация знаний» на рабочем листе ответьте на вопросы и заполните пропуски.

1.1.  Назовите связь между характером монотонности функции и знаком её производной_________________________ ____

1.2. Как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке__________________________________________________________________________

1.3. Какие точки называются стационарными ____________________________________

________________________________ _________________________________________________ 1.4.Какие точки называются критическими _________________________________________

1.5. Признак максимума функции_____________________________________________

1.6. Признак минимума функции_____________________

Проверка ответов.

Закрепление и расширение знаний (коллективная работа)

2.

а) Перечислите основные свойства функции, заданной графиком (см. рис.).

* область определения функции

* область значений

* четность (нечетность)

* наименьший положительный период

* координаты точек пересечения графика функции с осью Ох

* координаты точек пересечения графика функции с осью Оy

* промежутки, на которых функция принимает положительные значения

* промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения

* промежутки возрастания

* промежутки убывания

* точки минимума

* точки максимума
* максимумы функции

Определите знаки производной данной функции (у каждого ученика рисунок на рабочем листе, такой же график на доске). Один ученик работает у доски.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0045.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\1.tif

( анализ полученных результатов)

б) На рисунке изображен график производной функции . Начертите эскиз графика функции .

(у каждого ученика рисунок на рабочем листе, такой же график на доске). Один ученик работает у доски.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0044.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\1.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0045.tif

( анализ полученных результатов)

3.  Работа в парах. Игра «Домино». Разложите имеющиеся на столе карточки по принципу «Функция – её производная»

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\5.tif

(Проверка полученных результатов)

3.Закрепление и расширение знаний по данной теме при решении прототипов В8 из открытого банка заданий ЕГЭ.

Тип задачи

Главный вопрос задачи

Способ (алгоритм) решения

1.  На рисунке 1. изображен график производной функции , определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\3.tif

Рис.1

2.  На рисунке 2. изображен график производной функции

, определённой на интервале (-7,5; 7). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\3.tif

3.  На рисунке 3. изображен график производной функции , определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции на отрезке

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\2.tif

Рис. 3

4.  На рисунке 4. изображен график производной функции , определенной на интервале (-2;16). Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\2.tif

Рис.4

5.  На рисунке 5. Изображен график производной функции , определенной на интервале (-5;5). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\4.tif

Рис. 5

6.  На рисунке 6. Изображен график производной функции , определенной на интервале (-5;5). Найдите точку максимума функции на интервале (-3;3).

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\4.tif

Рис. 6

Работа со слайд проектором. Учащиеся задают вопросы

Самостоятельная работа. Ф. И. …………………………………………

1 вариант

1.  На рисунке изображен график функции , заданной на промежутке (-5;5). Найдите число точек с целыми абсциссами, в которых производная этой функции отрицительна.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0005.tif

Ответ:

2.  Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек с целыми абсциссами, в которых функция возрастает.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0007.tif

Ответ:

3.  Функция определена на промежутке (-3;8). На рисунке изображен график её производной. Укажите точку минимума функции на промежутке (-3;4).

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0009.tif

Ответ:

4.  Функция определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0009.tif

Ответ:

Самостоятельная работа. Ф. И. ………………………………………….

2 вариант

1.  На рисунке изображен график функции , заданной на промежутке (-4;6). Найдите число точек с целыми абсциссами, в которых производная этой функции положительна.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0007.tif

Ответ:

2.  Функция определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график её производной. Найдите количество точек с целыми абсциссами, в которых функция убывает.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0007.tif

Ответ:

3.  Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите точку максимума функции на промежутке (-4;4).

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0009.tif

Ответ:

4.  Функция определена на промежунке (-4;6). На рисунке изображён график её производной. Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0010.tif

Ответ:

Домашнее задание:

Решить любые пять заданий.

На рисунке изображены четыре непрерывные линии. Одна из этих линий – график производной для убывающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0003.tif

Функция определена на промежутке (-5;6). График её производной изображен на рисунке. Укажите количество промежутков, на которых функция представляет собой константу.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0004.tif

На рисунке изображен график функции и отмечены точки -6; -4; -2; 0; 2; 4; 6; 8. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f′ наименьшее. (В ответе укажите эту точку).

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Копия Scan0007.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0011.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0012.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0015.tif

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0016.tif

Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нём: «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Все поняли, что хотел сказать учитель: скорость приращения знаний у ученика положительна, а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые роста знаний, изображенного на рисунке.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0005.tif

ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ:

Отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии».

Я, функция сложная, это известно, Ещё расскажу, если вам интересно… Что точку разрыва и корень имею, И есть интеграл, где расти не посмею. Во всём остальном положительна право, И это конечно не ради забавы Для чисел больших я стремлюсь к единице, Найди меня среди прочих в таблице.

1)  f(x) =

2)  f(x) = - - 2

3)  f(x) =

4)  f(x) =

5)  f(x) =

6)  f(x) =

7)  f(x) =

8)  f(x) =

9)  f(x) =

Рефлексия

Какие типы задач мы вассмотрели?

(задачи на применение производной: исследование функции на монотонность, нахождение экстремумов функции)

Какие знания использовали при решении задач?

(* связь между характером монотонности функции и знаком её производной;

* признаки максимума и минимума функции)

Какие способы мыслительной деятельности использовали при решении задач?

(анализ, синтез обобщение, моделирование объекта задачи, выстраивание шагов решения, конструирование способов решения)

Дополнительные задания.

1.  На рисунке изображен график функции и отмечены восемь точек оси абсцисс: ; ; ;…;. Найдите число отмеченных точек, в которых производная функции отрицательна.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0005.tif

Ответ:

2.  На рисунке изображен график функции и отмечены точки -7; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f наибольшее. (В ответе укажите эту точку).

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0007.tif

Ответ:

C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\сканирование\Scan0012.tif

3.  Функция определена на промежутке (-5; 6). На рисунке изображен график её производной. Найдите количество точек минимума функции .

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0007.tif

Ответ:

4.  Функция определена на промежутке (-5; 5). На рисунке изображен график её производной. Найдите точку , в которой функция принимает наименьшее значение на отрезке .

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0009.tif

5.  Функция определена на промежутке (-5; 4). На рисунке изображен график её производной. Найдите количество точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции является целым числом.

C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan0011.tif

Список литературы

и используемых интернет-ресурсов.

1.  Алгебра и начала метематического анализа. 10 – 11 классы. В 2 ч. Ч.2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень); под ред .- ll-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2010, стр. 93-95.

2.  Математика. ЕГЭ. 2013. Книга l / , , . - Ростов н/Д: Издатель , М.: Народное образование, 2013, стр. 100-108, стр. 245-251.

 http://school-collection.edu.ru

http://festival.1september.ru/