Методические указания к решению задач по механике (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к решению задач по механике

часть 3

для студентов классического и инженерного потока

Физического факультета

Ростов-на-Дону

2009

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, профессором кафедры общей физики

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № 11 от 27 января 2009 г.

Краткая теория (основные физические понятия)

Импульс частицы и системы частиц

Огромную роль в изучении физических явлений играют, так называемые сохраняющиеся величины. Одной из них является импульс частицы. Вспомним, что импульсом частицы называется векторная физическая величина . Именно эта величина входит во второй закон Ньютона:

.

Отсюда следует следующее выражение .

+………+.

Это выражение представляет собой закон изменения импульса системы, взаимодействующих между собой частиц – изменение импульса такой системы частиц равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на систему. Отсюда следует очень важный практический вывод: импульс системы частиц может изменяться только под действием внешних сил.

Замечание. У незамкнутых систем может сохраняться постоянной какая-либо проекция импульса.

Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс системы.

Запишем выражение: .

Полученную таким образом точку называют центром масс системы частиц.

Найдем производную по времени от этого выражения:

.

Здесь - представляет собой скорость движения центра масс системы частиц. Или перепишем это соотношение несколько иначе:

.

Мы обозначили - импульс системы частиц, M – суммарная масса всей системы. Обозначим - ускорение центра масс системы частиц, получим закон движения центра масс:

.

Центр масс системы движется, как точка с массой, равной всей массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, действующих на эту систему.

Закон движения центра масс системы:

если система замкнута, то ее центр масс либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Энергия частицы и системы частиц.

Механическая работа.

Назовем элементарной работой силы следующую величину:

.

Здесь - угол между вектором силы и элементом траектории, а - проекция вектора силы на направление вектора .

Если же сила изменяется при движении очки вдоль траектории, то работа в этом случае находится как сумма всех элементарных работ:

.

Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.

Если на тело действует некоторая сила , под действием которой тело совершает перемещение , то говорят, что сила совершает работу. энергия тела это энергия его движения, следовательно ее нельзя запасать. Это выражение может быть обобщено на движение по траектории любого типа и, следовательно, получим общее выражение:

.

Мы получили теорему об изменении кинетической энергии тела:

Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил, совершающих работу.

Потенциальная энергия частицы в поле сил.

Воспользуемся тем фактом, что работа консервативных сил не зависит от формы траектории, и введем новое физическое понятие потенциальной энергии частицы.

Так в консервативном поле работа не зависит от пути, то она будет некоторой функцией радиус-вектора частицы, проведенного из точки начала отсчета 0. Эту функцию и назовем потенциальной энергией частицы в произвольной точке пространства относительно начальной точки 0. Введем эту функцию по следующему правилу:

.

Итак, потенциальной энергией частицы в поле консервативных сил называют такую функцию , убыль которой равна работе по перемещению частицы из одной точки пространства в другую. Видно, что введенная таким образом величина, является понятием относительным.

Потенциальная энергия и сила поля.

Установим связь между потенциальной частицей в консервативном поле и силой, действующей на частицу в этом поле. Для элементарной работы можем записать: .

Или иначе , тогда . Отсюда следует, что

.

В общем случае существует следующая связь силы с изменением потенциальной энергии:
.

В скобках стоит некий оператор (набла), который еще иначе называют градиентом (grad): .

Поэтому связь силы и потенциальной энергии можно записать более компактно: .

Приращение механической энергии частицы равно работе сторонних сил, действующих на эту частицу.

Соответственно, можно сформулировать и закон сохранения механической энергии частицы:

В случае отсутствия сторонни сил, механическая энергия системы сохраняется.

Соударение тел

Законы сохранения энергии и импульса могут быть использованы для нахождения связей между физическими величинами, описывающими движение тел.

Абсолютно неупругий удар

Внешним признаком абсолютно неупругого удара является наличие двух тел после удара и одного, объединенного, тела после удара. Поскольку мы рассматриваем замкнутую систему, то выполняется закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, т. к. действую в системе диссипативные силы. При неупругом ударе часть механической энергии переходит в тепло.

Рассмотрим два шара массами m1 и m2, движущиеся со скоростями и . Мы будем иметь дело с центральным ударом, при котором векторы скорости шаров до и после удара направлены по линии, соединяющей центры шаров.

Скорость образовавшегося тела после удара:

.

Рассчитаем потерю механической энергии (в данном случае только кинетической) в ходе этого процесса.

.

Видно, что по физическому смыслу это есть кинетическая энергия относительного движения шаров. Итак, при абсолютно неупругом ударе теряется кинетическая энергия относительного движения.

Абсолютно упругий удар

Рассмотрим замкнутую систему двух упругих шаров массами m1 и m2, движущихся со скоростями и . После центрального удара обозначим скорости шаров и .

Можно получит для первого шара:

.

Аналогично можно получить для второго шара:

Образцы решения задач по механике

4.1  5. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

5.1.  Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 (1,2) в точку 2 (2,-3). При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых имеет проекции на оси: Fх=3 Н, Fу=4 Н. Найдите работу, которую совершила сила при этом перемещении.

Работа при перемещении из точки 1 в точку 2 определяется интегрированием по траектории:
.
В данном случае сила F является постоянной, поэтому ее работа не зависит от формы траектории. Следовательно:
.
Находим величину скалярного произведения через проекции векторов:
.